P11233 CSP-S 2024 染色

考试最后码方程忘记 $a[i-1]$ 了，调不出来，只好 $50pts$ 收尾。

思路

$dp$ 的难点在于确定一段的颜色后，无法快速找到上一段相同颜色的结尾。

从这里入手，设 $dp[i][0/1][0/1]$ 表示第 $i$ 位颜色为 $1/0$，第三维表示是一段颜色的 $0$ 开头或 $1$ 结尾。

设 $sum[i][j]$ 为 $[i,j]$ 为同一个颜色的得分，有递推式：

\[sum[i][j]=sum[i][j-1]+(a[j-1]==a[j])\times a[j]
\]

其中 $i<j$ 且 $sum[i][i]=0$。

接下来考虑转移。

$i$ 为一段颜色 $0$ 的开头，$[j,i-1]$ 为一段颜色 $1$，那么上一段颜色 $0$ 的结尾在 $j-1$ 处。之所以从 $dp[j][1][0]$ 转移是因为需要加上 $j$ 与上一段 $1$ 结尾的贡献。

\[dp[i][0][0]=\max_{j<i}(dp[j][1][0]+sum[j][i-1]+(a[j-1]==a[j])\times a[i])
\]

类似的，有：

\[dp[i][1][0]=\max_{j<i}(dp[j][0][0]+sum[j][i-1]+(a[j-1]==a[i])\times a[i])
\]

$i$ 为一段颜色 $0$ 的结尾，这段颜色的开头 $j$ 可以是 $[1,i]$ 中任意一个点。

那么有 $dp[i][0][1]=\max_{j\leq i}(dp[j][0][0]+sum[j][i])$。

类似的 $dp[i][1][1]=\max_{j\leqq i}(dp[j][1][0]+sum[j][i])$。

观察 $sum$ 的求法，发现本质上可以前缀和作差优化。

重新设 $sum[i]$ 为 $[1,i]$ 的颜色相同贡献，$[l,r]$ 颜色相同的贡献等于 $sum[r]-sum[l]$。

方程变为：

\[dp[i][0][0]=\max_{j<i}(dp[j][1][0]-sum[j]+(a[j-1]==a[j])\times a[i])+sum[i-1]
\]

\[dp[i][0][1]=\max_{j\leq i}(dp[j][0][0]-sum[j])+sum[i]
\]

剩下两条与上面方程类似，就不写了。

对于方程 $dp[i][0][1]$，$dp[j][0][0]-sum[j]$ 中取一个最大值可以 $O(1)$ 的实现，对于另一个，发现难点在于 $a[j-1]$ 与 $a[i]$ 颜色相同时会产生一个 $a[i]$ 的贡献。

那么先对于所有的 $j$ 都不加 $a[j-1]$ 与 $a[i]$ 的贡献求一个 $dp[j][1][0]-sum[j]$ 的最大值，同时在 $a[j-1]$ 与 $a[i]$ 相同的 $j$ 里也求一个 $dp[j][1][0]-sum[j]$ 的最大值，最后将后一个的最大值加 $a[i]$ 与前一个最大值比较，便可以得出 $dp[i][0][0]$ 的最终答案。

最后答案时 $\max(dp[n][0][1],dp[n][1][1])$。

Ps：其实你发现第 3 维的作用仅限于统计答案，所以其实可以去掉。

具体操作看实现，时间复杂度 $O(n)$。

CODE

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

const int maxL=1e6+5,maxn=2e5+5;

int n;

int a[maxn];

ll cho[maxL][2],acl[2],sum[maxn],dp[maxn][2][2];

int main()

{

    // freopen("color2.in","r",stdin);

    // freopen("color.out","w",stdout);

    int _;

    scanf("%d",&_);

    while(_--)

    {

        memset(cho,-0x3f,sizeof(cho));

        memset(acl,0,sizeof(acl));

        memset(sum,0,sizeof(sum));

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        scanf("%d",&n);

        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

        for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+(a[i-1]==a[i])*a[i];

        for(int i=1;i<=n;i++)

        {

            dp[i][0][0]=max(acl[1]+sum[i-1],cho[a[i]][1]+sum[i-1]+a[i]);

            dp[i][1][0]=max(acl[0]+sum[i-1],cho[a[i]][0]+sum[i-1]+a[i]);

            acl[0]=max(acl[0],dp[i][0][0]-sum[i]);

            acl[1]=max(acl[1],dp[i][1][0]-sum[i]);

            cho[a[i-1]][1]=max(cho[a[i-1]][1],dp[i][1][0]-sum[i]);

            cho[a[i-1]][0]=max(cho[a[i-1]][0],dp[i][0][0]-sum[i]);

            dp[i][0][1]=acl[0]+sum[i];

            dp[i][1][1]=acl[1]+sum[i];

        }

        printf("%lld\n",max(dp[n][0][1],dp[n][1][1]));

    }

}

后记

去年忘记加 1 少 $100pts$，今年忘记 $-1$ 少 $50pts$……