[题解]P2516 [HAOI2010] 最长公共子序列—

P2516 [HAOI2010] 最长公共子序列

总的来说，这道题确实很精妙，难度也不小，耗费了不少时间去调。本来想过用容斥的思想，却因为当时理解不深没有继续思考就放弃了。学会了思路后对$LCS$有了更深层次的理解。

题意简述

给定$A,B$两个字符串（以.结尾），求它们的最长公共子序列的长度和个数（取模$10^8$）。

注意：两个字符串可能有多个最长公共子序列，同一个最长公共子序列，哪怕放的位置不同，也算作两个。

样例

输入：

ABCBDAB.

BACBBD.

输出：

4

7

样例解释

长度为$4$：ABBD$*1$，ACBB$*1$，ACBD$*2$，BCBB$*1$，BCBD$*2$。

思路简述

根据$LCS$算法的思想，我们画出以下表格（注意路径不唯一，所以每个格子不止一个箭头）。右下角的暗红色数字是$f$数组，记录长度。

第一问就是$f[n][m]$的值（$n,m$表示$A,B$的长度）。

第二问怎么解决呢？结果显然就是从$(n,m)$开始，根据格子上的指示回溯的路径条数。当时以为这里用记忆化搜索直接计数就能得到正确答案，但其实这样做可能会有重复。如下图：

从右下开始走，左-上-左上和上-左-左上的效果是一样的，都是选择了C加入子序列。而左上-左上的效果不同，选择了D和C加入子序列。由此可以看出并不是路径不同最终子序列就不同。应该是路径中经过的位置不同，最终子序列就不同（注意不同的子序列可能字符串表示相同，前面题意简述说明了）。

所以搜索的方法会有重复计算的错误，考虑和$f$一样，定义一个$g$数组，$g[i][j]$表示$A,B$长度分别为$i,j$的前缀$LCS$的个数。

如果$a[i]=b[j]$，说明此处有一个，那么应该有这样子$4$种情况：

也就是说，如果$a[i]=b[j]$，首先$g[i][j]+=g[i-1][j-1]$，表示从这个格子往走的个数（长度为$3+1=4$），如果$f[i-1][j]=f[i][j]$或者$f[i][j-1]=f[i][j]$，说明我们也可以不选，而是选择←或↑，仍然能选$4$个。
如果$a[i]\neq b[j]$，那么此处没有。判断方法相同：
- 如果$f[i-1][j]=f[i][j]$说明有↑，$g[i][j]+=g[i-1][j]$；
- 如果$f[i][j-1]=f[i][j]$说明有←，$g[i][j]+=g[i][j-1]$。
但是如果$f[i-1][j-1]=f[i][j]$（$a[i]\neq b[j]$不代表$f[i-1][j-1]\neq f[i][j]$），说明左-和上-的操作可能有重复计算（就是第二张图那种，左-上和上-左都能到达$(i-1,j-1)$，又因为$f[i-1][j-1]=f[i][j]$，所以都是最长。这样就重复计算了），需要$g[i][j]-=g[i-1][j-1]$。

综上，我们得到状态转移方程：

$f[i][j]=
\begin{cases}
f[i-1][j-1]+1 & if\ a[i]=b[j]\\
max(f[i-1][j],f[i][j-1]) & otherwise
\end{cases}$

$g[i][j]
\begin{cases}
=1 & if\ i=0\ or\ j=0\\
otherwise:\\
+=g[i-1][j-1] & if\ a[i]=b[j]\\
+=g[i-1][j] & if\ f[i-1][j]=f[i][j]\\
+=g[i][j-1] & if\ f[i][j-1]=f[i][j]\\
-=g[i-1][j-1] & if\ f[i-1][j-1]=f[i][j]\\
\end{cases}$

注意事项

别忘取模$10^8$。
开$5000*5000$会炸空间，所以需要滚动数组优化空间。
虽然递推有减法，但我们不需要担心出现负数影响取模。因为我们一定会作加法，而且加的数所在位置一定不在减的数所在位置左或上（还是比较容易理解的）。

具体见代码~

Code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long

#define mod 100000000ll

using namespace std;

string a,b;

int n,m,f[5010][5010];

int g[5010][5010];

signed main(){

	cin>>a>>b;

	n=a.size()-1,m=b.size()-1;

	a=' '+a,b=' '+b;

	bool cur=1,pre=0;

	for(int i=0;i<=m;i++) g[0][i]=1;

	g[1][0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		for(int j=1;j<=m;j++){

			g[cur][j]=0;

			if(a[i]==b[j]) f[cur][j]=f[pre][j-1]+1;

			else f[cur][j]=max(f[pre][j],f[cur][j-1]);

			if(a[i]==b[j]) g[cur][j]+=g[pre][j-1];

			if(f[cur][j]==f[cur][j-1]) g[cur][j]+=g[cur][j-1];

			if(f[cur][j]==f[pre][j]) g[cur][j]+=g[pre][j];

			if(f[cur][j]==f[pre][j-1]) g[cur][j]-=g[pre][j-1];

			g[cur][j]%=mod;

		}

		cur=!cur,pre=!pre;

	}

	cout<<f[pre][m]<<endl<<g[pre][m];

	return 0;

}

\[[Fin.]
\]

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