100天搞定机器学习|day44 k均值聚类数学推导与python实现

[如何正确使用「K均值聚类」？

1、k均值聚类模型

给定样本，每个样本都是m为特征向量，模型目标是将n个样本分到k个不停的类或簇中，每个样本到其所属类的中心的距离最小，每个样本只能属于一个类。用C表示划分，他是一个多对一的函数，k均值聚类就是一个从样本到类的函数。

2、k均值聚类策略

k均值聚类的策略是通过损失函数最小化选取最优的划分或函数。

首先，计算样本之间的距离，这里选欧氏距离平方。



然后定义样本与其所属类的中心之间的距离的总和为损失函数



其中为第l个类的均值或中心



,是指示函数，取值1或0.

k均值聚类就是求解最优化问题：



3、k均值聚类算法

k均值聚类的算法是一个迭代过程，

首先：

对于给定中心值,求划分C，是目标函数极小化：



即，类中心确定的情况下，将样本分到一个类中，使样本和其所属类的中心之间的距离总和最小。

然后：

对于给定的划分C，再求各个类的中心，是目标函数极小化。

即，划分C确定的情况下，使样本和其所属类的中心之间的距离总和最小。求解结果，对于每个包含nl个样本的类Gi，更新其均值ml：



重复以上两个步骤，知道分化不在改变。

from myUtil import *

def kMeans(dataSet, k):
    m = shape(dataSet)[0]  # 返回矩阵的行数

    # 本算法核心数据结构:行数与数据集相同
    # 列1：数据集对应的聚类中心,列2:数据集行向量到聚类中心的距离
    ClustDist = mat(zeros((m, 2)))

    # 随机生成一个数据集的聚类中心:本例为4*2的矩阵
    # 确保该聚类中心位于min(dataSet[:,j]),max(dataSet[:,j])之间
    clustercents = randCenters(dataSet, k)  # 随机生成聚类中心

    flag = True  # 初始化标志位,迭代开始
    counter = []  # 计数器

    # 循环迭代直至终止条件为False
    # 算法停止的条件：dataSet的所有向量都能找到某个聚类中心,到此中心的距离均小于其他k-1个中心的距离
    while flag:
        flag = False  # 预置标志位为False

        # ---- 1. 构建ClustDist：遍历DataSet数据集,计算DataSet每行与聚类的最小欧式距离 ----#
        # 将此结果赋值ClustDist=[minIndex,minDist]
        for i in xrange(m):

            # 遍历k个聚类中心,获取最短距离
            distlist = [distEclud(clustercents[j, :], dataSet[i, :]) for j in range(k)]
            minDist = min(distlist)
            minIndex = distlist.index(minDist)

            if ClustDist[i, 0] != minIndex:  # 找到了一个新聚类中心
                flag = True  # 重置标志位为True，继续迭代

            # 将minIndex和minDist**2赋予ClustDist第i行
            # 含义是数据集i行对应的聚类中心为minIndex,最短距离为minDist
            ClustDist[i, :] = minIndex, minDist

        # ---- 2.如果执行到此处，说明还有需要更新clustercents值: 循环变量为cent(0~k-1)----#
        # 1.用聚类中心cent切分为ClustDist，返回dataSet的行索引
        # 并以此从dataSet中提取对应的行向量构成新的ptsInClust
        # 计算分隔后ptsInClust各列的均值，以此更新聚类中心clustercents的各项值
        for cent in xrange(k):
            # 从ClustDist的第一列中筛选出等于cent值的行下标
            dInx = nonzero(ClustDist[:, 0].A == cent)[0]
            # 从dataSet中提取行下标==dInx构成一个新数据集
            ptsInClust = dataSet[dInx]
            # 计算ptsInClust各列的均值: mean(ptsInClust, axis=0):axis=0 按列计算
            clustercents[cent, :] = mean(ptsInClust, axis=0)
    return clustercents, ClustDist

参考：

https://jakevdp.github.io/PythonDataScienceHandbook

https://www.cnblogs.com/eczhou/p/7860424.html

统计学习方法14.3