数学系列：XXX

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问题

随机抽样问题表示如下：

要求从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定。

这种应用的场景一般是数据流的情况下，由于数据只能被读取一次，而且数据量很大，并不能全部保存，因此数据量N是无法在抽样开始时确定的；但又要保持随机性，于是有了这个问题。所以搜索网站有时候会问这样的问题。

这里的核心问题就是“随机”，怎么才能是随机的抽取元素呢？我们设想，买彩票的时候，由于所有彩票的中奖概率都是一样的，所以我们才是“随机的”买彩票。那么要使抽取数据也随机，必须使每一个数据被抽样出来的概率都一样。

解答

    解决方案就是蓄水库抽样（reservoir sampling）。主要思想就是保持一个集合（这个集合中的每个数字出现），作为蓄水池，依次遍历所有数据的时候以一定概率替换这个蓄水池中的数字。

其伪代码如下：

Init : a reservoir with the size： k
        for    i= k+1 to N
            M=random(1, i);
            if( M <= k)
                 SWAP the Mth value and ith value
       end for

解释一下：程序的开始就是把前k个元素都放到水库中，然后对之后的第i个元素，以k/i的概率替换掉这个水库中的某一个元素，所以每个元素被替换的概率是 1/i。

证明

用数学归纳法证明，我们的初始状态是i = k + 1

我们取了前k个数，显然初始状态这k个数的存在概率是1。
    当i = k + 1时，k+1这个数以k/(k+1) 被选中去替换前k个数中的某一个。这个操作已经保证k+1这个数字是以概率k/(k+1)被保留。所以我们要证明的就是前k个数也是以k/(k+1)的概率被保留。对于这k个数中的任意一个都有两种情况，1.替换发生(k+1这个数被选中了)  2.替换没发生

我们随意取 1=< j <= k 来求第j个数的保留概率。那么根据全概率公式

P(j) = P(j | 替换发生) * P(替换发生)+  P(j | 替换没发生) * P(替换没发生)

P(替换发生) = k/(k+1)   P(替换没发生) = 1/(k+1)

P(j | 替换发生) = (k-1)/k   因为在替换发生的条件下有1/k的概率j被替换掉了

P(j | 替换没发生) =  1   原来前k个数都以1概率存在

所以

P(j) = P(j | 替换发生) * P(替换发生)+  P(j | 替换没发生) * P(替换没发生)

=  (k-1)/k  *   k/(k+1)  +   1 * 1/(k+1)

=  k / (k+1)

因为j是任意取值的所以得证。

接下来我们假设 i = n 时成立， 我们来证明i = n + 1的情况

既然i = n 时成立，所以 i = n 时任意一个数 1 <= j <= n 都以概率 k/n 出现在结果集中。

同理因为第n + 1个数以概率k/(n+1) 选中，所以无需考虑第n + 1 这个数，我们只要考虑前n个数中的任一个1 <= j <= n 在结果集中出现的概率

依然还是:

P(j) = P(j | 替换发生) * P(替换发生)+  P(j | 替换没发生) * P(替换没发生)

P(替换发生) = k/(n+1)   P(替换没发生) = (n+1-k)/(n+1)

P(j | 替换发生) = k/n * (k-1)/k   因为在替换发生的条件下有1/k的概率j被替换掉了

P(j | 替换没发生) =  k/n   前n个数都以k/n概率存在

P(j) = P(j | 替换发生) * P(替换发生)+  P(j | 替换没发生) * P(替换没发生)

=   k/(n+1) * k/n * (k-1)/k +  k/n * (n+1-k)/(n+1)

=  k*(k-1)/(n*(n+1)) + k*(n+1-k)/(n*(n+1))

=  k*(k-1+n+1-k)/(n*(n+1))

=  k/(n+1)