LOJ.114.K大异或和(线性基)
如何求线性基中第K小的异或和?好像不太好做。
如果我们在线性基内部Xor一下,使得从高到低位枚举时,选base[i]一定比不选base[i]大(存在base[i])。
这可以重构一下线性基,从高到低位枚举i,如果base[i]在第j位(j<i)有值,那么Xor一下base[j]。(保证每一列只有一个1)
比如 1001(3)与0001(0),同时选0,3只比3要小;重构后是 1000(3)和0001(0),这样同时选0,3比只选0或3都要大。
这样将K二进制分解后就可以直接对应上线性基对应位的选择了。要存base[i]有值的i。
需要注意如果线性基中表示的向量不足n个,说明一定存在一组向量满足线性相关关系,即存在Xor和为0的情况。这样要使K减1。
判断是K>=(1<<size),线性基和的个数是2^{size}-1(不算0)。
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 100000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define Bit 51
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
int n,size,cnt;
LL base[69],b2[69];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
inline LL read()
{
LL now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
inline void Insert(LL x)
{
for(int i=Bit; ~i; --i)
if(x>>i & 1)
if(base[i]) x^=base[i];
else {base[i]=x, ++size; break;}
}
inline LL Query(LL K)
{
LL ans=0;
for(int i=cnt; ~i; --i)
if(K>>i & 1) ans^=b2[i];
return ans;
}
void Rebuild()
{
for(int i=Bit; ~i; --i)
for(int j=i-1; ~j; --j)
if(base[i]>>j & 1) base[i]^=base[j];
for(int i=0; i<=Bit; ++i) if(base[i]) b2[cnt++]=base[i];
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) Insert(read());
Rebuild();
for(int Q=read(); Q--; )
{
LL K=read()-(size!=n);//别在for里开int啊mmp
printf("%lld\n",(K>=(1ll<<size))?-1ll:Query(K));
}
return 0;
}
有一种不需要重构线性基的方法:询问时将K二进制拆分(按size位),若K在第j位有1,且当前答案在第i位没有1(还可以更大)或是 K在第j位没有1,且当前答案在第i位有1(偏小?),则ans^=base[i]。
不太理解。(随大流吧。。)
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 100000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define Bit 51
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
int n,size;
LL base[69];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
inline LL read()
{
LL now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
inline void Insert(LL x)
{
for(int i=Bit; ~i; --i)
if(x>>i & 1)
if(base[i]) x^=base[i];
else {base[i]=x, ++size; break;}
}
inline LL Query(LL K)
{
LL ans=0;
for(int i=Bit,now=size; ~i; --i)
if(base[i])
if((K>>(--now) & 1)^(ans>>i & 1)) ans^=base[i];
return ans;
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) Insert(read());
for(int Q=read(); Q--; )
{
LL K=read()-(size!=n);
printf("%lld\n",(K>=(1ll<<size))?-1ll:Query(K));
}
return 0;
}
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