【BZOJ2127】happiness（网络流）

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大致题意： 每个人只能在文科与理科中选择一种。选择每种科目会带来不同的喜悦值，如果相邻的两位同学选择了同一种科目则会带来额外的喜悦值。求喜悦值总和的最大值。

网络流

这道题做法显然是网络流。

但是网络流最难的地方就难在建图。

建图

以相邻两点为例，我们可以按照这样的方式建图：

其中，\(a_i\)表示\(i\)选文科的喜悦值，\(b_i\)表示\(i\)选理科的喜悦值，\(c_{i,j}\)表示\(i,j\)同选文科的喜悦值，\(d_{i,j}\)表示\(i,j\)同选理科的喜悦值。

则可以发现，用喜悦值总和\(a_1+b_1+c_{1,2}+d_{1,2}\)减去图中的任意一个割，都恰好对应某种情况的喜悦值：

1. \(1,2\)同选文：割去\(1->t,2->t\)，得\(sum-(b_1+\frac{d_{1,2}}2)-(b_2+\frac{d_{1,2}}2)=a_1+a_2+c_{1,2}\)。
2. \(1,2\)同选理：割去\(s->1,s->2\)，得\(sum-(a_1+\frac{c_{1,2}}2)-(a_2+\frac{c_{1,2}}2)=b_1+b_2+d_{1,2}\)。
3. \(1\)选文，\(2\)选理：割去\(s->2,1->2,1->t\)，得\(sum-(a_2+\frac{c_{1,2}}2)-(\frac{c_{1,2}}2+\frac{d_{1,2}}2)-(b_1+\frac{d_{1,2}}2)=a_1+b_2\)。
4. \(1\)选理，\(2\)选文：割去\(s->1,2->1,2->t\)，得\(sum-(a_1+\frac{c_{1,2}}2)-(\frac{c_{1,2}}2+\frac{d_{1,2}}2)-(b_2+\frac{d_{1,2}}2)=a_2+b_1\)。

而要使喜悦值最大，就应该用喜悦值总和减去这张图的最小割。

又由于最小割=最大流定理，我们直接求出最大流，然后用喜悦值总和减去即可。

推广到原图中同理。

注意这里涉及到除以\(2\)，因此我们在建边时可以将边权都乘\(2\)，最后再除即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define INF 1e9
using namespace std;
int n,m,a[N+5][N+5],b[N+5][N+5];
class FastIO
{
    private:
        #define FS 100000
        #define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        #define tn (x<<3)+(x<<1)
        #define D isdigit(c=tc())
        char c,*A,*B,FI[FS];
    public:
        I FastIO() {A=B=FI;}
        Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
        Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
        #undef D
}F;
class Dinic//Dinic跑网络流
{
    private:
        #define add(x,y,v) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y,e[ee].Cap=v)
        static const int Psz=N*N+2,Lsz=(N*N<<2)+(N*N<<3);int ee,lnk[Psz+5],cur[Psz+5],q[Psz+5],dep[Psz+5];
        struct edge {int to,nxt,Cap;}e[Lsz+5];
        I bool BFS()//BFS找增广路
        {
            RI i,k,H=1,T=1;memset(dep,0,sizeof(dep)),dep[q[1]=s]=1;W(H<=T&&!dep[t])
                for(i=lnk[k=q[H++]];i;i=e[i].nxt) e[i].Cap&&!dep[e[i].to]&&(dep[q[++T]=e[i].to]=dep[k]+1);
            return dep[t]?(memcpy(cur,lnk,sizeof(lnk)),true):false;
        }
        I int DFS(CI x,RI f)//DFS统计流量
        {
            if(!(x^t)||!f) return f;RI i,t,res=0;
            for(i=cur[x];i;i=e[i].nxt)
            {
                if(cur[x]=i,(dep[x]+1)^dep[e[i].to]||!(t=DFS(e[i].to,min(f,e[i].Cap)))) continue;
                if(e[i].Cap-=t,e[((i-1)^1)+1].Cap+=t,res+=t,!(f-=t)) break;
            }return !res&&(dep[x]=-1),res;
        }
    public:
        int s,t;I Dinic() {s=1,t=2;}I int P(CI x,CI y) {return (x-1)*m+y+2;}
        I void AddOneWayEdge(CI x,CI y,CI v) {add(x,y,v),add(y,x,0);}//建单向边
        I void AddTwoWayEdge(CI x,CI y,CI v) {add(x,y,v),add(y,x,v);}//建双向边
        I int MaxFlow() {RI res=0;W(BFS()) res+=DFS(s,INF);return res;}//求最大流
}D;
int main()
{
    RI i,j,x,ans=0;F.read(n,m);
    for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j) F.read(a[i][j]),ans+=a[i][j],a[i][j]<<=1;//读入，更新喜悦值总和，并将其乘2
    for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j) F.read(b[i][j]),ans+=b[i][j],b[i][j]<<=1;//读入，更新喜悦值总和，并将其乘2
    for(i=1;i^n;++i) for(j=1;j<=m;++j) F.read(x),ans+=x,a[i][j]+=x,a[i+1][j]+=x,D.AddTwoWayEdge(D.P(i,j),D.P(i+1,j),x);//读入，更新喜悦值总和和源点流向这两个节点的流量，然后在这两点间建双向边
    for(i=1;i^n;++i) for(j=1;j<=m;++j) F.read(x),ans+=x,b[i][j]+=x,b[i+1][j]+=x,D.AddTwoWayEdge(D.P(i,j),D.P(i+1,j),x);//读入，更新喜悦值总和和这两个节点流向汇点的流量，然后在这两点间建双向边
    for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j^m;++j) F.read(x),ans+=x,a[i][j]+=x,a[i][j+1]+=x,D.AddTwoWayEdge(D.P(i,j),D.P(i,j+1),x);//读入，更新喜悦值总和和源点流向这两个节点的流量，然后在这两点间建双向边
    for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j^m;++j) F.read(x),ans+=x,b[i][j]+=x,b[i][j+1]+=x,D.AddTwoWayEdge(D.P(i,j),D.P(i,j+1),x);//读入，更新喜悦值总和和这两个节点流向汇点的流量，然后在这两点间建双向边
    for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j) D.AddOneWayEdge(D.s,D.P(i,j),a[i][j]),D.AddOneWayEdge(D.P(i,j),D.t,b[i][j]);//建源点流向该节点和该节点流向汇点的单向边
    return printf("%d",ans-(D.MaxFlow()>>1)),0;//输出答案
}