Causal Inference理论学习篇-Tree Based-Causal Tree

Tree-Based Algorithms

Tree-based这类方法，和之前meta-learning 类的方法最明显的区别是: 这类方法把causal effect 的计算显示的加入了到了树模型节点分裂的标准中 从 response时代过渡到了effect时代。

大量的这类算法基本围绕着树节点分裂方式做文章，普遍采用的是兼容性比较高的[[万字长文讲述树模型的历史|cart树]]

Causal Tree & Honest Tree

causal tree[4] 这篇文章算是较早通过改变树模型node分裂方式来预估[[因果推断及其重要相关概念#heterogeneous causal effects|异质因果效应]](heterogeneous causal effects)的算法。

所以重点还是如何去构建 split criterion，前置可能要说一下相关的符号含义：

在特征空间 \(\mathbb X\) 下存在节点分裂方式的集合：

\[\prod(\ell_1,...,\ell_{\#(T)})
\]

其中以 \(\ell(x;\prod)\) 表示叶子节点\(\ell\) 属于划分方式 \(\prod\), 此时该划分方式下的，node的条件期望定义为：

\[\mu(x;\prod)=E[Y_i|X_i \in \ell(x;\prod)]
\]

那么，自然如果给定样本\(S\) , 其对应节点无偏统计量为：

\[\hat \mu(x;S,\prod)=\frac{1}{\#(i\in S: X_i \in \ell(x;\prod))}\sum_{i\in S:X_i\in\ell_i(x;\prod)} Y_i
\]

Causal Tree 学习的目标 or loss func

学习目标使用修改后的MSE, 在标准mse的基础上多减去了一项和模型参数估计无关的\(E[Y^2]\)，此外

训练即build tree阶段，train set被切为两部分，一部分训练样本train set：\(S^{tr}\) , 一部分是估计样本 est set \(S^{est}\)，还有测试样本test set \(S^{te}\)

这里有点绕：和经典的树模型不一样的是：叶子节点上存储的值不是根据train set来的, 而是划分好之后通过est set进行估计。(显然, 这种方式有点费样本...)。所以，这也是文中为啥把这种方法叫做“Honest”的原因。

假设已经根据训练样本得到划分方式，那么评估这种划分方式好坏被定义为：

\[MSE(S^{te}, S^{est},\prod)=\frac{1}{\#(S^{te})} \sum_{i\in S^{te}} \{(Y_i-\hat\mu(X_i;S^{est},\prod))^2-Y_i^2\}
\]

整体求期望变成：

\[EMSE(\prod)=E_{S^{te},S^{est}}[MSE(S^{te}, S^{est},\prod)]
\]

算法的整体目标为：

\[Q^{H}(\pi)=-E_{S^{est}, S^{est}, S^{tr}}[MSE(S^{te}, S^{est},\pi(S^{tr}))]
\]

其中，\(\pi(S)\) 定义为：

\[\pi(\mathcal{S})= \begin{cases}\{\{L, R\}\} & \text { if } \bar{Y}_L-\bar{Y}_R \leq c \\ \{\{L\},\{R\}\} & \text { if } \bar{Y}_L-\bar{Y}_R>c .\end{cases}
\]

其实就是比较节点在划分后，左右子节点的输出差异是否满足阈值c，\(\bar Y_L=\mu(L)\)

节点划分方式

作者直接给出了节点划分时的loss计算标准：

我们来推导一下：

\[\begin{aligned}
EMSE(\small\prod)&=E_{S^{te},S^{est}}[\frac{1}{\#(S^{te})} \sum_{i\in S^{te}} \{(Y_i-\hat\mu(X_i;S^{est},\small\prod))^2-Y_i^2\}] \\
&=E_{S^{te},S^{est}}[(Y_i-\hat\mu(X_i;S^{est},\small\prod))^2-Y_i^2] \\
&=E_{S^{te},S^{est}}[(Y_i-\mu(X_i;\small\prod)+\mu(X_i;\small\prod)-\hat\mu(X_i;S^{est},\small\prod))^2 - Y_i^2] \\
&=E_{S^{te},S^{est}}[\{Y_i-\mu(X_i;\small\prod)\}^2-Y_i^2] \\
&+2E_{S^{te},S^{est}}[\{Y_i-\mu(X_i;\small\prod)\}\{(\mu(X_i;\small\prod)-\hat\mu(X_i;S^{est},\small\prod)\}] \\
&+E_{S^{te},S^{est}}[\{\mu(X_i;\small\prod)-\hat\mu(X_i;S^{est},\small\prod)\}^2]
\end{aligned}
\]

因为中间展开项期望为0, 所以公式变成：

\[\begin{aligned}
EMSE(\small\prod)&=E_{S^{te},S^{est}}[\{Y_i-\mu(X_i;\small\prod)\}^2-Y_i^2]+E_{S^{te},S^{est}}[\{\mu(X_i;\small\prod)-\hat\mu(X_i;S^{est},\small\prod)\}^2] \\
&=E_{S^{te},S^{est}}[(\mu(X_i;\small\prod))^2-2Y_i\mu(X_i;\small\prod)]+E_{S^{te},S^{est}}[\{\mu(X_i;\small\prod)-\hat\mu(X_i;S^{est},\small\prod)\}^2]
\end{aligned}
\]

同样的，展开项的项期望为0，由于无偏估计=> \(\mu(X_i;\small \prod)=E_{S^{est}}[\hat \mu(X_i;S^{est};\small\prod)]\) ，最终公式变成：

\[-EMSE(\small\prod)=E_{X_i}[\mu^2(X_i;\small \prod)]-E_{S^{est},X_i}[\mathbb V(\hat\mu(X_i;S^{est}, \small\prod))]
\]

其中，\(E_{S^{est},X_i}[\mathbb V(\hat\mu(X_i;S^{est}, \small\prod))]=E_{S^{te},S^{est}}[\{\hat\mu(X_i;S^{est},\small\prod)-\mu(X_i;\small\prod\}^2]\)

公式中第一项可以理解为偏差的平方，第二项理解为方差。为什么MSE可以被理解成偏差和方差的组合，以及展开项为0

我们来证明一下：(开个玩笑:)，其实我是抄的Wikipedia，可以看证明1和证明2：

偏差项

接着分析偏差项：

\[\begin{aligned}
E_{X_i}\left[\mu^2\left(X_i ; \Pi\right)\right] & =E_{X_i}\left\{\left[E_S\left(\hat{\mu}\left(X_i ; S, \Pi\right)\right)\right]^2\right\} \\
& =E_{X_i}\left\{E_S\left[\hat{\mu}^2\left(X_i ; S, \Pi\right)\right]-\mathbb V_S\left[\hat{\mu}\left(X_i ; S, \Pi\right)\right]\right\} \\
& =E_{X_i}\left\{E_S\left[\hat{\mu}^2\left(X_i ; S, \Pi\right)\right]\right\}-E_{X_i}\left\{\mathbb V_S\left[\hat{\mu}\left(X_i ; S, \Pi\right)\right]\right\}
\end{aligned}
\]

第一项总体估计值的期望使用训练集的样本，即：

\[\hat \mu^2(X_i;S^{tr},\small \prod)=E_S[\hat\mu^2(X_i;S;\small\prod)]
\]

第二项方差项，叶子节点方差求均值

\[\mathbb V_S[\hat\mu^2(X_i;S;\small\prod)]=\frac{S_{S^{tr}}^2}{N^{tr}}
\]

对于最外层的期望：

\[\begin{aligned}
\hat{E}_{X_i}\left[\mu^2\left(X_i ; \Pi\right)\right] & =\sum_{l \in \Pi} \frac{N_l^{t r}}{N^{t r}} \hat{\mu}^2\left(X_i ; S^{t r}, \Pi\right)-\sum_{l \in \Pi} \frac{N_l^{t r}}{N^{t r}} \frac{S_{t r}^2[\ell(x, \Pi)]}{N_\ell^{t r}} \\
& =\frac{1}{N^{t r}} \sum_{i \in S^{t r}} \hat{\mu}^2\left(X_i ; S^{t r}, \Pi\right)-\frac{1}{N^{t r}} \sum_{\ell \in \Pi} S_{t r}^2[\ell(x, \Pi)]
\end{aligned}
\]

方差项

\[\mathbb V(\hat\mu(X_i;S^{est}, \small\prod)=\frac{S_{S^{tr}}^{2}(\ell(x;\small \prod)}{N^{est}(\ell(x;\small \prod))}
\]

\[E_{S^{est},X_i}[\mathbb{V}\left(\hat{\mu}^2\left(X_i ; \mathcal{S}^{\text {est }}, \Pi\right) \mid i \in \mathcal{S}^{\text {te }}\right] \equiv \frac{1}{N^{\text {est }}} \cdot \sum_{\ell \in \Pi} S_{\mathcal{S}^{\text {tr }}}^2(\ell)
\]

整合

最终估计量为：

\[-\hat{EMSE(S^{tr},\small \prod)}=\frac{1}{N^{\operatorname{tr}}} \sum_{i \in \mathcal{S}^{\mathrm{tr}}} \hat{\mu}^2\left(X_i ; \mathcal{S}^{\operatorname{tr}}, \Pi\right)-\left(\frac{1}{N^{\operatorname{tr}}}+\frac{1}{N^{\mathrm{est}}}\right) \cdot \sum_{\ell \in \Pi} S_{\mathcal{S}^{\operatorname{tr}}}^2(\ell)
\]

\[=\frac{1}{N^{\operatorname{tr}}} \sum_{i \in \mathcal{S}^{\operatorname{tr}}} \hat{\mu}^2\left(X_i ; \mathcal{S}^{\operatorname{tr}}, \Pi\right)-\frac{2}{N^{\operatorname{tr}}} \cdot \sum_{\ell \in \Pi} S_{\mathcal{S}^{\operatorname{tr}}}^2(\ell)
\]

其中, 偏差和方差不过的est估计量应该用est set，但是此处假设了train set和est set 同分布。

treatment effect 介入划分：处理异质效应

前面定义了MSE的范式，当需要考虑到异质效应时，定义异质效应：

\[\tau = \mu(1, x;\small\prod)-\mu(0;x;\small \prod)
\]

很显然，我们永远观测不到异质性处理效应，因为我们无法观测到反事实，我们只能够估计处理效应，给出异质性处理效应的估计量：

\[\hat \tau(w,x;S,\small \prod)=\hat \tau(1,s;S,\small \prod)-\hat \tau(0,s;S,\small \prod)
\]

因果效应下的EMSE为：

\[MSE_{\tau}=\frac{1}{\#(S^{te})}\sum_{i\in S^{te}} \{(\tau_i-\hat \tau(Xi;S^{est},\small \prod))^2-\tau_i^2\}
\]

\[-\operatorname{EMSE}_\tau(\Pi)=\mathbb{E}_{X_i}\left[\tau^2\left(X_i ; \Pi\right)\right]-\mathbb{E}_{\mathcal{S}^{\text {est }}, X_i}\left[\mathbb{V}\left(\hat{\tau}^2\left(X_i ; \mathcal{S}^{\text {est }}, \Pi\right)\right]\right.
\]

使用\(\tau\)替代了\(\mu\) , 偏差项, 带入整合公式：

\[-\hat {EMSE_{\tau}(S^{tr, \small\prod})}=\frac{1}{N^{tr}}\sum_{i\in S^{tr}} \hat \tau^2(Xi;S^{tr},\small \prod)-\frac{2}{N^{tr}}\sum_{\ell \in \small \prod}(\frac{S_{S_{treat}^{tr}}^2(\ell)}{p}+\frac{S_{S_{control}^{tr}}^2(\ell)}{1-p})
\]

其中，\(p\)表示相应treatment组的样本占比，该子式也是最终的计算节点分类标准的公式

有了节点划分方式之后，build tree的过程和CART树是一样的

推理过程

推理过程和决策树基本一样，树建好之后，只用根据每个node存储的特征和threshold进行path 遍历，走到叶子节点返回值即可。

一般来说，causal tree的叶子节点存储的

结构体之外还单独存储了一个 叫 value 的数组，主要是存储每个节点的预测值。对于两个Treatment来说，存储的大小就是1x2的list，第一个element存储了control的 正样本比例，第二个element存储了treatment的正样本比例。

一般来说，这个比例会做配平或者说惩罚：

所以，最终推理得到的是一个输入一个样本X，得到T-C的treatment effect，我们不用像meta-learning类的模型一样，自己手动减得到ITE。

Causal Tree总结

1. 作者改进了MSE，主动减去了一项模型参数无关的\(E[Y_i^2]\)。改进方法的MSE包含了组内方差，这个方差越大，MSE就会越低，所以它能够在一定程度上限制模型的复杂性
2. 把改进的 mse loss apply 到CATE中来指导节点分割 和 建立决策树
3. 构建树的过程中，train set切割为了 \(S^{tr}\) 和 \(S^{est}\) 两部分，node的预测值由\(S^{est}\) 进行无偏估计，虽然最后实际上\(S^{est}\) 用train set替代了。
4. 理论上causal tree 仅支持 两个Treatment
   

   如果使用causalml的package，如果存在多个T，非C组都会被置为一个T

REF

1. https://hwcoder.top/Uplift-1
2. 工具: scikit-uplift
3. Meta-learners for Estimating Heterogeneous Treatment Effects using Machine Learning
4. Athey, Susan, and Guido Imbens. "Recursive partitioning for heterogeneous causal effects." Proceedings of the National Academy of Sciences 113.27 (2016): 7353-7360.
5. https://zhuanlan.zhihu.com/p/115223013