BZOJ1095 [ZJOI2007] Hide 捉迷藏 (括号序列 + 线段树)

题意

给你一颗有 \(n\) 个点的树 , 共有 \(m\) 次操作 有两种类别qwq

1. 将树上一个点染黑/白;
2. 询问树上最远的两个黑点的距离.

\((n \le 200000, m ≤500000)\)

题解

• 树上距离如果不带权的话我们很容易用一个括号序列来维护qwq

  进来的时候我们添加一个左括号 把这个数字放进来 出去的时候我们添加一个右括号

  其实这个和欧拉序差不多

  

  比如 这颗树的括号序列就是 \((1(2)(3(4)(5(6(7))))(8))\)

  然后有一个显然的定理

  对于树上任意两个点 , 它们之间的距离等于这两个数字之间未匹配的括号数量

  这个比较显然 我们可以这样考虑 两个点到他们 \(\mathrm{LCA}\) 一个全为 \()\) 一个全为 \((\)

  这是因为中间和上面的括号都已经全部匹配完了 然后距离就是它们加起来了

  我们需要维护的就是树上两个黑点之间未匹配的括号数的最大值

  大概都长这个样子 \())))((((\)

  我们考虑用线段树维护这个东西

  这个看起来比较难以维护 所以我们需要一些辅助的东西才能进行维护

  接下来的定义 都要在去掉 匹配括号的条件 下进行!!!

  定义 \(o\) 为线段树上当前的节点 \(ls\) 为当前节点在的左儿子 \(rs\) 为右儿子

  1. 需要维护当前区间右括号 \(a\) 和左括号 \(b\) 的数量

     然后我们有两个显然的转移

     \[a[o] = a[ls] + \max(a[rs] - b[ls], 0); \\ b[o] = b[rs] + \max(b[ls] - a[rs], 0);
     \]

  2. 然后我们需要维护另外四个东西 , 就是

     从当前序列中一个黑点到序列两端的未匹配括号和的最大值 和 差的最大值

     \(rp=right \ plus\) 这个就是 这个区间内的一个黑点到它右端 右括号 \()\) 和 左括号 \((\) 加起来的最大值

     \(rm = right \ minus\) 就是 这个区间内的一个黑点到它右端 右括号 \()\) 比 左括号 \((\) 多的数量的最大值

     \(lp = left \ plus\) 这个同理代表 这个区间内的一个黑点到它左端 右括号 \()\) 和 左括号 \((\) 加起来的最大值

     \(lm = left \ minus\) 这个区间内一个黑点到它左端 左括号 \((\) 比 右括号 \()\) 多的最大值

     然后我们就有如下的转移咯qwq 自己思考一下它的意义

     \[rp[o] = max(rp[rs], max(rp[ls] - a[rs] + b[rs], rm[ls] + a[rs] + b[rs]));
     \]
     \[rm[o] = max(rm[rs], rm[ls] + a[rs] - b[rs]);
     \]
     \[lp[o] = max(lp[ls], max(lp[rs] + a[ls] - b[ls], lm[rs] + a[ls] + b[ls]));
     \]
     \[lm[o] = max(lm[ls], lm[rs] - a[ls] + b[ls]);
     \]

     只要有这四个 所有情况全都构造的出来了qwq

  3. 然后我们可以直接通过这些计算答案 \(ans\) 了

     \[ans[o] = max(max(ans[ls], ans[rs]), max(rp[ls] + lm[rs], rm[ls] + lp[rs]));
     \]

  然后变黑点的时候 我们将那些东西清零 变白点就清成 \(-inf\) 就行了

  本文解释的比较差 看详细构造推荐 这篇博客 !!!

代码

/**************************************************************
    Problem: 1095
    User: zjp_shadow
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4152 ms
    Memory:62440 kb
****************************************************************/

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

inline char read_char() {
    char ch = getchar();
    for (; !isupper(ch); ch = getchar());
    return ch;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("1095.in", "r", stdin);
    freopen ("1095.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1200010, inf = 0x3f3f3f3f;

const int maxn = N;

int lis[N];

#define lson o << 1, l, mid
#define rson o << 1 | 1, mid + 1, r
struct Segment_Tree {
    int lp[maxn], rp[maxn], lm[maxn], rm[maxn], a[maxn], b[maxn], ans[maxn];

    void push_up(int o, int l, int r) {
        int ls = o << 1, rs = ls | 1;
        a[o] = a[ls] + max(a[rs] - b[ls], 0);
        b[o] = b[rs] + max(b[ls] - a[rs], 0);

        rp[o] = max(rp[rs], max(rp[ls] - a[rs] + b[rs], rm[ls] + a[rs] + b[rs]));
        rm[o] = max(rm[rs], rm[ls] + a[rs] - b[rs]);
        lp[o] = max(lp[ls], max(lp[rs] + a[ls] - b[ls], lm[rs] + a[ls] + b[ls]));
        lm[o] = max(lm[ls], lm[rs] - a[ls] + b[ls]);

        ans[o] = max(max(ans[ls], ans[rs]), max(rp[ls] + lm[rs], rm[ls] + lp[rs]));
    }

    void Build(int o, int l, int r) {
        if (l == r) {
            if (lis[l] > 0) lp[o] = rp[o] = lm[o] = rm[o] = ans[o] = 0;
            else lp[o] = rp[o] = lm[o] = rm[o] = -inf, ans[o] = -1;

            if (lis[l] == -2) b[o] = 1;
            if (lis[l] == -1) a[o] = 1;
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1; Build(lson); Build(rson);
        push_up(o, l, r);
    }

    void Update(int o, int l, int r, int up) {
        if (l == r) {
            if (lp[o] > -inf) lp[o] = rp[o] = lm[o] = rm[o] = -inf, ans[o] = -1;
            else lp[o] = rp[o] = lm[o] = rm[o] = ans[o] = 0;
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (up <= mid) Update(lson, up); else Update(rson, up);
        push_up(o, l, r);
    }
} T;
#undef lson
#undef rson

vector<int> G[N];
int n, clk = 0, pos[N];

void Dfs(int u, int fa) {
    lis[++ clk] = -2;
    lis[pos[u] = ++ clk] = u;
    For(i, 0, G[u].size() - 1) { int v = G[u][i]; if (v != fa) Dfs(v, u); }
    lis[++ clk] = -1;
}

int main () {
    File();
    n = read();
    For (i, 1, n - 1) {
        int u = read(), v = read();
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    Dfs(1, 0);
    T.Build(1, 1, clk);
    int m = read();
    For (i, 1, m) {
        char opt = read_char();
        if (opt == 'C')
            T.Update(1, 1, clk, pos[read()]);
        else
            printf ("%d\n", T.ans[1]);
    }
    return 0;
}