前提

我们之前的二叉排序树的插入(构建)是按照我们输入的数据来进行的,若是我们的数据分布不同,那么就会构造不同的二叉树
{ , , , , , , , , ,  }

{ , , , , , , , , ,  }

我们发现若是数组元素分布大小按顺序,那么我们极有可能得到一颗极不平衡的二叉树,而二叉树深度越大,查找的次数越多,其查找时间复杂度可以高达O(n),那么如何构造一颗平衡的二叉树?

平衡二叉树

一:定义

平衡:

左右均匀

平衡因子:

将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF(Balance Factor) BF=hl-hr

平衡二叉树(AVL树):

是一种二叉排序树
空树或任一结点左右子树高度差的绝对值不超过1,即|BF|<=

最小不平衡子树

距离插入结点最近的,且平衡因子绝对值大于1的结点为根 的子树,我们称为最小不平衡子树

二:平衡二叉树实现原理

基本思想

在构建二叉排序树的过程中,每当插入一个结点时,先检查是否因插入而破坏了树的平衡性,若是,则找出最小不平衡子树。在保存二叉排序树的前提下,调整最小不平衡子树中各个结点之间的链接更新进行相应的旋转,使之成为新的平衡子树

二叉排序树构建过程

{,,,,,,,,,}

我们若是按照二叉排序树进行构建 图一

虽然会符合二叉排序树的定义,但是高度达到8的二叉树,查找不好,效率不高,我们应该尽可能是二叉排序树保持平衡,比如图二

开始构建平衡二叉树AVL

1.选取第一个数据元素3,按照二叉排序树方法正常构建数据,树的平衡因子为0,符合平衡

2.选取第二个数据元素2,按照二叉排序树方法正常构建数据,树的平衡因子为1,符合平衡

3.选取第三个数据元素1,按照二叉排序树方法构建数据位置,树的根节点平衡因子为2,不符合平衡要求,我们找到最小不平衡子树,进行旋转

注意:平衡因子为正数,则右转,为负数,则左转

4.选取第四个数据元素4,按照二叉排序树方法正常构建数据,树的平衡因子没改变,符合平衡

5.选取第五个数据元素5,按照二叉排序树方法正常构建数据,结点3的BF变为-2,说明要进行旋转,我们找到最小不平衡子树,进行旋转

负数,左旋

6.选取第六个数据元素6,按照二叉排序树方法正常构建数据,发现结点2的BF变为-2,说明要进行旋转,而且是左旋

注意:此时本来结点3是结点4的左孩子,由于旋转后,需要满足二叉排序树图像,因此我们将他变为结点2的右孩子

7.选取第七个数据元素7,按照二叉排序树方法正常构建数据,发现结点5的BF变为-2,所以需要对这个最小不平衡子树进行左旋

8.选取第八个数据元素10,按照二叉排序树方法正常构建数据,树的平衡因子没改变,符合平衡

9.选取第八个数据元素9,按照二叉排序树方法正常构建数据,发现结点7的BF值为-2,我们需要进行旋转

注意:因为我们的结点7的BF=-2,而他的子结点10的BF是1,对于两个符号不统一的最小不平衡子树,
我们都应该先让其符号相同,所以先对我们的最小不平衡子树的子树结点10和结点9安装其结点10的BF=1,正数,先进行两个结点的右旋,

然后再对整个不平衡子树按照结点7的BF=-2进行左旋

10.选取第九个数据元素8,按照二叉排序树方法正常构建数据,发现结点6的BF=-2,而且最小不平衡子树的符号不统一

我们先对最小不平衡子树的子树进行旋转,使得其符号统一,按照结点9的BF=,进行右旋

使最小不平衡子树符号相同,然后我们根据结点6的BF=-,进行左旋

最后将所有的数据排序完成!!!

三:平衡二叉树的难点

1.我们需要知道每个结点的BF值,应该从哪得知?

所以我们要在结构体中加入平衡因子数据域
typedef struct _BiTNode
{
ElemType data;
int bf;
struct _BiTNode* lchild, *rchild;
}BiTNode,*BiTree;

2.我们如何动态修改每个结点的BF值?

(1)我们需要知道,我们插入一个结点,只会影响到该结点到根节点的路径上的结点的BF值,是不会影响到其他结点的BF值



(2)我们插入一个新的结点,那么这个新的结点的BF值一定是0(可以看上图)

(3)我们对一个最小不平衡子树做了平衡处理后,会发现我们只对这个最小不平衡子树的BF进行了改变,而对于这棵树中的其他结点的BF值,虽然变换当中会改变,但是变化后和原来是一样的。

下面我们对添加新结点前,添加后,树平衡调整后的BF值进行观察

这里不在最小平衡子树中的点有0,1结点,开始和结束后其BF都没有变化

这里不在最小平衡子树中的点有1结点,开始和结束后其BF都没有变化

这里不在最小平衡子树中的点有1,,,4结点,开始和结束后其BF都没有变化

这里不在最小平衡子树中的点有1,,,,,6结点,开始和结束后其BF都没有变化

总之:我们在考虑树的结点的BF值时,我们只需要考虑我们的最小不平衡子树的结点的BF值即可。

(4)同3注意:我们还发现,除了 参与旋转的三个结点,在最小不平衡子树的其他结点的BF值也不会改变

LL型

LR型

RR和RL型相同

所以:我们只需要考虑的结点是最小不平衡子树的3个旋转结点即可

(5)通过上面分析:我们只需要考虑3个结点的BF值变化即可,但是具体变化方式是不是有规律的?

LL型

插入结点时的变化,我们应该将BL的BF值修改,原来是0,插入子节点后变为1

做了平衡旋转后,我们应该将最小不平衡子树的根节点A和左子树根节点B变为0

LR型(我们这里只考虑插入在双亲结点左侧:分多种情况,要根据第三个结点再次进行分析)

首先是T指向新插入的C结点的双亲BR由原来的0变为1,再向上走T等于其双亲,原来也是0,但是这里是右转所以由0变为-,之后转到A结点,发现是左转,原来BF值是1,直接进入左旋转平衡

左旋转平衡,根据LR判断,若是为1,我们将最小不平衡子树根T置为-,L和LR结点设为0

分为这三种情况(想吐)....RR和RL同上面分析。

四:代码实现

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h> #define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0 typedef int Status;
typedef int ElemType; typedef struct _BiTNode
{
ElemType data;
int bf;
struct _BiTNode* lchild, *rchild;
}BiTNode,*BiTree; //右旋操作
/*
对以p为根节点的二叉排序树进行右旋操作
处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的左子树的根节点
*/
void R_Rotate(BiTree *p)
{
BiTree L;
L = (*p)->lchild;
(*p)->lchild = L->rchild;
L->rchild = (*p);
*p = L;
} //左旋操作
/*
对以p为根节点的二叉排序树进行左旋操作
处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的右子树的根节点
*/
void L_Rotate(BiTree *p)
{
BiTree R;
R = (*p)->rchild;
(*p)->rchild = R->lchild;
R->lchild = (*p);
*p = R;
} #define LH +1 //左高
#define EH 0 //等高
#define RH -1 //右高 //左平衡旋转处理代码
//其中传入的T都是最小不平衡子树的根节点
//我们在旋转时主要关注的BF值就是最小不平衡子树的根节点BF和根节点下面的子节点BF值
void LeftBalance(BiTree *T) //左平衡。我们主要考虑LL,LR两种
{
BiTree L,Lr;
L = (*T)->lchild;
switch (L->bf) //由于已经是要做平衡处理,所以L->bf不会出现EH状态
{
case LH: //LL直接右旋即可,注意LL后的结点平衡后都是0
(*T)->bf = L->bf = EH; //所有的BF跳转都是基于旋转之前的提前调整,方便些
R_Rotate(T);
break;
case RH: //LR旋转,我们需要注意先要左旋,然后右旋
//在左右旋之前,我们要修改BF值
Lr = L->rchild; //Lr指向T的左孩子的右子树
switch (Lr->bf)
{ /* 修改T及其左孩子的平衡因子 */
case LH:
(*T)->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH:
(*T)->bf = EH;
L->bf = EH;
break;
case RH:
(*T)->bf = EH;
L->bf = LH;
break;
}
Lr->bf = EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild);/* 对T的左子树作左旋平衡处理 */
R_Rotate(T); /* 对T作右旋平衡处理 */
break;
}
} /* 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理, */
void RightBalance(BiTree* T)
{
BiTree R, Rl;
R = (*T)->rchild; /* R指向T的右子树根结点 */
switch (R->bf)
{/* 检查T的右子树的平衡度,并作相应平衡处理 */
case RH: /* 新结点插入在T的右孩子的右子树上,要作单左旋处理 */
(*T)->bf = R->bf = EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH:/* 新结点插入在T的右孩子的左子树上,要作双旋处理 */
Rl = R->lchild;/* Rl指向T的右孩子的左子树根 */
switch (Rl->bf)
{
case RH:
(*T)->bf = LH;
R->bf = EH;
break;
case EH:
(*T)->bf = EH;
R->bf = EH;
break;
case LH:
(*T)->bf = EH;
R->bf = RH;
break;
}
Rl->bf = EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild);/* 对T的右子树作右旋平衡处理 */
L_Rotate(T);
break;
}
} /* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点,则插入一个 */
/* 数据元素为e的新结点,并返回1,否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
/* 失去平衡,则作平衡旋转处理,布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree* T, int e, Status *taller)
{
if (!*T)
{
//插入新结点
*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
(*T)->data = e;
(*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;
(*T)->bf = EH;
*taller = TRUE;
}
else
{
if (e==(*T)->data)
{
//树中已经存在和e有相同的关键字的结点则不再插入
*taller = FALSE;
return FALSE;
}
else if (e<(*T)->data)
{
//应该继续在T的左子树中进行搜索
if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) //未插入
return FALSE;
if (*taller) //已插入到T的左子树中,且左子树长高
{
switch ((*T)->bf) //检测T树的平衡度
{
case LH: //原来是其父节点T的BF值为1,现在插入左孩子,其BF值变为2,直接进行左平衡处理
LeftBalance(T);
*taller = FALSE;
break;
case EH: //原来左右子树等高,现因左子树增高而树增高
(*T)->bf = LH;
*taller = TRUE;
break;
case RH: //原来右子树比左子树高,现在左右等高
(*T)->bf = EH;
*taller = FALSE;
break;
}
}
}
else
{
//去右子树搜索
if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) //未插入
return FALSE;
if (*taller) //已插入到T的左子树中,且左子树长高
{
switch ((*T)->bf) //检测T树的平衡度
{
case LH: //原来左子树比右子树高,现在左右等高
(*T)->bf = EH;
*taller = FALSE;
break;
case EH: //原来左右子树等高,现因右子树增高而树增高
(*T)->bf = RH;
*taller = TRUE;
break;
case RH: //原来右子树比左子树高,现在高了两个度,BF=2,需要进行右平衡旋转
RightBalance(T);
*taller = FALSE;
break;
}
}
}
}
return TRUE;
} int main()
{
int i;
int a[] = { , , , , , , , , , };
BiTree T = NULL;
Status taller;
for (i = ; i < ;i++)
{
InsertAVL(&T, a[i], &taller);
}
system("pause");
return ;
}

五:反思

不太熟练,需要多联系,等我把这些都复习一遍,在做题的时候会进行更多的查漏补缺,而且上面缺少删除部分代码,在我真正理解后,会补上

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