Multiparty Cardinality Testing for Threshold Private Set-2021：解读

本文记录阅读该论文的笔记。

本文基于阈值加法同态加密方案提出了一个新的允许$N$方检查其输入集的交集是否大于$n-t$的IPSI方案，该协议的通信复杂度为$O(Nt^2)$。

注意：$N$指的是多少个参与方、$n$是输入集的大小、$t$是预先设定的阈值，也是阈值。

该方案基于The Communication Complexity of Threshold Private Set Intersection-2019：解读进行的改进。

该协议可以用于各方知道交集很大，但不知道具体多大时，可以使用！

摘要

（1）该协议的通信复杂度不依赖于输入集的大小，而取决于阈值$t$的大小

（2）基于阈值的PSI协议分为两部分：

交集的势测试（Cardinality Testing ），即测试参与方的交集是否大于$n-t$
PSI：计算交集

介绍

两方阈值PSI：

（1）双方先检测交集大小是否$> n-t$

（2）若满足，则求交（获取交集）；否则，什么也得不到（获取不到交集）

标准PSI和阈值PSI的对比：

标准的PSI更在乎交集，而不在乎交集的大小，而阈值PSI更关注交集的大小。
阈值PSI的通信量较少，只取决于阈值$t$的大小；标准的PSI通信量取决于输入集合的大小。

阈值PSI现状：

只有以下方案进行了讨论：

（1）【Privatepool: Privacy-preserving ridesharing-2017】

（2）【An algebraic approach to maliciously secure private set intersection-2019】

（3）【The communication complexity of threshold private set intersection-2019】

其中只有（3）的通信复杂度不依赖于$n$，方案是两方场景。

（4）【Multi-party threshold private set intersection with sublinear communication-2021】

这也是一个多方阈值PSI，使用FHE，通信复杂度为$O(Nt)$，也提出了一个TPKE加密方案实现了：只有当各方的交集足够大时，各方才能求交集。还可以秘密的计算汉克尔矩阵的行列式（矩阵大小的线性时间内）。

阈值PSI的应用：

（1）约会APP

（2）生物特征认证

（3）拼车【Privatepool: Privacy-preserving ridesharing 】

假设两个（或更多）方正在使用拼车应用程序，如果他们的路线有很大的交集，它允许他们共享车辆。然而由于隐私问题，他们不想公开他们的行程。阈值PSI可以解决该问题，各方可以联合执行一个阈值PSI协议，了解路线的交叉点，如果交叉点足够大，共享一辆车，否则，他们就不共享一辆车，也能保证用户的路线隐私。

阈值PSI

当前的阈值PSI主要分为两步：

（1）Cardinality Testing：就是各方检测交集是否大于$n-t$

（2）PSI：如果满足（1），则输出交集；否则没有输出

具体：

如果起始$t=1$，则$t$的取值范围有：$1,2,4,8,...,t,2t$

通信复杂只取决于$t$的原因：

合适的阈值一定是2的次幂，如果交集大于$n-t'$，则Cardinality Testing对于阈值$t$就成功，因为$t\geq t'>t/2$，所以协议的通信复杂度只取决于阈值的大小。

解释有点牵强，或许我没理解

$t'$是什么？

贡献

（1）多方Cardinality Testing

较上面的Cardinality Testing，这里给出了满足多方的Cardinality Testing
通信复杂度为$O(Nt^2)$
并给出一些新的线性计算（linear algebra）：求密文矩阵相乘、求密文矩阵的秩、求密文矩阵的逆等

该协议在【Secure linear algebra using linearly recurrent sequences-2007】【Communication eﬃcient secure linear algebra-2006】的（两方）基础上构建的多方阈值PSI。

（2）多方阈值PSI

这里也是将一个两方的协议改为多方。

回顾一下两方的情况：

两方Alice和Bob各有数据$S_A$和$S_B$，其大小都是$n$，阈值$t<<n$，如果$|S_A\cap S_B|\geq n-t$，则求出交集$S_A\cap S_B$。

我们方案基于【The communication complexity of threshold private set intersection-2019】论文，这是一个两方的阈值PSI协议：

（1）若交集大于$n-t$

（2）计算交集

两方将数据编码到多项式中，得到$P_A(x)=(x-a_i)...(x-a_n)$和$P_B=(x-b_1)...(x-b_n)$在一个大的有限域上$F$，其中$a_i\in S_A,b_i\in S_B$，然后只要满足$|S_A\cap S_B|\geq n-t$，则：

且$deg(P_A)=deg(P_B)=t$，所以两方只需要在$P_A(x)/P_B(x)=P_{A\setminus B}(x)/P_{B\setminus A}$上计算$O(t)$个点。然后将这些点插值得到$P_A(x)/P_B(x)$，然后求出分母$P_{B\setminus A}$，继而求出交集多项式$P_{A\setminus B}(x)=P_B(x)/P_{B\setminus A}$

紧接上文问题：具体如何根据$P_A(x)/P_B(x)$，然后求出分母$P_{B\setminus A}$？

Bob不能恢复出分子$P_{A\setminus B}$，否则方案就不安全了，所以这里使用Oblivious Linear Evaluation (OLE)技术用于“掩盖”分子项（随机化）。

该协议只有满足$|S_A\cap S_B|\geq n-t$，才是安全的，否则就会泄露额外的信息，所以双方应该先执行Cardinality Testing操作，来保证协议是满足$|S_A\cap S_B|\geq n-t$的。

扩展到多方的限制：

这里讲的是Cardinality Testing如何扩展为多方：

参与方先将数据编码到多项式中，得到$Q_A(x)=x^{a_i}+...+x^{a_n}$和$Q_B=x^{b_1}+...+x^{b_n}$，其中$a_i\in S_A,b_i\in S_B$，检测$Q(x)=Q_A(x)-Q_B(x)$是否是一个稀疏多项式（sparse polynomial），若是，则判断集合$(S_A \cup S_B)\setminus (S_A \cap S_B)$是小集合（small），通信复杂度为$O(t^2)$。

那问题来了：

（1）如何判断多项式是否时稀疏的？

（2）如何判断集合是小的？

如果将其扩展为多方，对于$N$个参与者，有：$\widetilde{Q}(x)=(N-1)Q_1(x)-Q_2(x)-...-Q_N(x)$，如果$N$很小的话，那该多项式$\widetilde{Q}(x)$就是稀疏的，那我们要是能计算该多项式的稀疏性，那么Cardinality Testing协议的总通信量变为$O((Nt)^2)$。

主要方法

1、安全线性代数（Secure Linear Algebra ）

来源【Secure linear algebra using linearly recurrent sequences 】

有两个参与方，一方有矩阵的加密$Enc(pk,M)$，另一方有对应的解密私钥$sk$，他们想要对这个密文矩阵做运算（线性计算，linear algebra related ），比如：求逆矩阵的行列式、秩或者计算出$x$，对于$Mx=y$，给出加密的$M,y$。

我们可以将该问题扩展到方，对于N个参与者$P_1,...,P_N$，每人有一份私钥的分享值，此外$P_1$有一个加密的矩阵，目的是要对这个加密的矩阵做运算（线性计算，linear algebra related）。

我们发现可以将【secure linear algebra】协议扩展为多方场景，通过使用具有加法同态性的阈值PKE代替具有加法同态的PKE和GC代替来实现，所以该方案允许N方在阈值PKE下解决这个线性代数问题$Mx=y$。

2、多方势检测（Cardinality Testing via Degree Test of a Rational Function ）

对于参与方编码的多项式$P_{S_i}(x)=(x-a_1^{(i)})...(x-a_n^{(i)}),i\in [1, N]$，有：

若交集$\cap S_i$大小大于$n-t$，则$deg(P_{S_1\setminus (\cap S_i)})=...=deg(P_{S_N\setminus (\cap S_i)})\leq t$。

以上是求交的方法！

所以Cardinality Testing有以下问题：

对于有理函数$f(x)=P_1(x)/P_2(x)$，能否安全的判断$deg(P_1(x))=deg(P_2(x))\leq t$，进而通过插值$O(t)$个点得到$f(x)$？

我们发现，将$V=(v_i,f(v_i))$和$W=(w_i,f(w_i))$($2t$个点值)，插值为多项式$f_V(x),f_W(x)$，满足：

另外，插值有理函数可以看作是求解线性方程组，所以通过前面介绍的“Secure Linear Algebra”，可以安全（不泄露额外信息）的计算“degree test”，换句话说，这能判断交集大小是否小于$n-t$，同时不泄露额外信息。

3、多方计算交集

这里的方法可以看作是【The communication complexity of threshold private set intersection 】的推广。

各方将其数据进行编码为多项式$P_{S_i}(x)=(x-a_1^{(i)})...(x-a_n^{(i)}),i\in [1, N]$，并且知道交集大小$> n-t$，各方联合计算出有理函数$(P_{S_1}+...+P_{S_N})/P_{S_1}$，然后插值$O(t)$个点值，$P_1$方恢复出分母，求出交集。

该方案和【The communication complexity of threshold private set intersection】的不同之处就是，将“OLE calls”换成了基于阈值的PKE（具有加法同态性），可以看成多方OLE的替换。

4、安全性

在UC框架下证明了Cardinality Testing的安全，但还存在一个问题，就是“secure linear algebra”协议不能证明是UC安全的，因为输入是在公钥加密的密文，在UC设置中，输入是来自其他地方。

使用Externalized UC框架解决该问题，在该框架下，安全的“linear algebra ideal functionalities”共享公钥，每人一个私钥的分享份，使用这种方法证明协议的安全性。

由于“secure linear algebra”协议是安全的，如果它们都共享相同的公钥，那么在“Cardinality Testing”中，我们只需要创建此公钥并共享，所以我们可以证明“Cardinality Testing”是UC安全的。

其他的证明方式：仅证明住主协议的安全性，而不单独证明每个字协议的安全性。

推荐参考：UC安全，接下来需要看Externalized UC！

基础

$S$是一个有限集合，$x\leftarrow S$表示从$S$中随机采样，$|S|$表示$S$的势（cardinality）；$N$个参与者;给出两个不可区分的分布$D_1,D_2$；安全参数$\lambda$

阈值的PKE

主要介绍了密钥生成算法和判断是否为0的加密算法

UC框架和理想函数

方案使用UC框架【A new paradigm for cryptographic protocols】分析安全性，在该协议中，只考虑半诚实敌手。

其中：

$Z$是环境
$\pi$是协议
$A$是真实世界
$F$是理想函数
$SIM$是模拟器

理想情况下的基于阈值的多方PSI：

只有当交集够大时，各方才会求交集。

Externalized UC of Global Setup：

externalized UC emulation (EUC)来源于【Universally composable security with global setup】，这是全局设置（global setup）的UC框架（简单版）

多项式插值

下面介绍使用一个随机多项式去“混淆/遮盖”一个级数小于t的多项式：

这种方式也可以用于多个多项式（多方），只要他们不共享一个因子（common factor）。

什么意思，不能约么？

下面介绍如何通过插值恢复出这个有理函数$f(x)=P(x)/Q(x)$以及证明该函数是唯一的

其中$P(x)$的级数为$m$，$Q(x)$的级数为$n$，则$f(x)$可一通过插值$m+n+1$个点唯一的插值出$f(x)$，若$P(x),Q(x)$是首一的（monic），则只需要$m+n$个点。

给定集合$V=(x,y)$，大小为$m_1+m_2+1$，可以根据这$V$个点唯一的插值出$f(x)=P(x)/Q(x)$。

引理

Oblivious Degree Test for Rational Functions

下面给出一个多方协议下求线性计算$Mx=y$，通信复杂度为$O(t^2k\lambda N)$。

多方求线性函数（Oblivious Linear Algebra）

多方求加密矩阵乘

功能是：

具体实现如下：

（1）初始化：各方$P_i$，共享公钥$pk$，以及每方各有一份私钥分享份$sk_i$

（2）输入：$P_1$输入两个矩阵的加密$Enc(pk,M_l),Enc(pk,M_r)$,其中$M_l,M_r\in F^{t*t}$

（3）输出：各方得到$Enc(M_l*M_r)$

其思想就是：$(a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)-a_2(b_1+b_2+b_3)-a_3(b_1+b_2+b_3)=a_1b_1 $

但存在一个问题：（以三方为例）

最后得到的$e=Enc(M_l*M_r)+Enc(R_r^{(1)}*R_r^{(1)})+Enc(R_r^{(2)}*R_r^{(2)})+Enc(R_r^{(3)}*R_r^{(3)})$，因为在上面框红处，没有自乘！

多方求加密矩阵的秩

功能：

具体实现如下：

其中$F_{OMM}$表示的是以$O(log t)批处理$计算$t$次乘法

不太懂

多方求线性函数

思想是将问题约减为最小多项式。

$M$是一个非奇异矩阵（non-singular matrix），也叫做满秩矩阵。

$M,x,y$都是密文形式。

功能：

具体实现如下：

多方势检测（Oblivious Degree Test）

功能：判断多方的交集数量$t'$是否大于阈值$t$，若满足，则输出1，否则输出0。

主要思想是：

在两个不同数据集上插值出有理函数，并检查两次实验的结果是否相同。

插值有理函数可以看作求解线性函数，因此可以使用“secure linear algebra”求解线性函数。

最后各方只需要安全的检查$C_v^{(1)}C_w^{(2)}-C_w^{(1)}C_v^{(2)}=0$是否成立！

给定有理函数$P(x)/Q(x)$，其中$P(x),Q(x)$有相同的级数，并给定两个集合$V_1,V_2$，下面的协议$secDT$是判断这个有理数函数的级数是否小于阈值$t$：

下面具体来分析一波：

（1）初始化

各方共享公钥$pk$，且每人有一个私钥份$sk_i$；
假设各方可以正常执行理想函数：$F_{ORank},F_{OLS},F_{OMM},F_{DecZero}$；
各方共享一组随机数$(\alpha_1,...,\alpha_{4t+2}$；

（2）参与方$P_1$输入

输入：$((\alpha_1,Enc(pk,f_1)),...,(\alpha_{4t+2},Enc(pk,f_{4t+2})))$，其中$f_i=P_1(\alpha_i)/P_2(\alpha_i)$，$P_1(x),P_2(x)$是两个级数为$t'$的多项式

（3）$P_1$设置

将$P_1$的输入$((\alpha_1,Enc(pk,f_1)),...,(\alpha_{4t+2},Enc(pk,f_{4t+2})))$拆分为两部分$(\alpha_j,Enc(pk,f_j))_{j\in [2t+1]}=(v_j,Enc(pk,f_{v,j})))_{j\in [2t+1]}$和$(\alpha_j,Enc(pk,f_j))_{j\in (2t+2,...,4t+2)}=(w_j,Enc(pk,f_{w,j})))_{j\in [2t+1]}$。

所以得到了$4t+2$对点值$(v_j,Enc(pk,f_{v,j})_{j\in [2t+1]}$和$(w_j,Enc(pk,f_{w,j})_{j\in [2t+1]}$。

由上面的点值构造两个密态线性系统：

其中$r=(v,w)$，$M_r$是一个维数为$2t+1$的方阵，$y_r$是一个长度为$2t+1$的向量。

这样就得到了加密的$M_v,y_v$和$M_w,y_w$。

（4）各方联合计算

计算：$Enc(pk,rank(M_r)-rank([M_r || y]))$，如果结果不为0，则停止协议，其中使用了两次$F_{ORank}$和$F_{DecZero}$。

即参与方联合测试$Enc(pk,rank(M_v)-rank([M_v || y_v]))$和$Enc(pk,rank(M_w)-rank([M_w || y_w]))$解密后是否为0，若为0，则继续。

（5）各方联合计算

利用$F_{OLS}$计算上面的两个线性函数，每方得到$Enc(pk,(c_v^{(1)}||c_v^{(2)}))$和$Enc(pk,(c_w^{(1)}||c_w^{(2)}))$，其中$M_r[c_r^{(1)},c_r^{(2)}]=y_r,r\in(v,w)$；$c_r^{(1)}$和$c_r^{(2)}$各是长度为$t+1$和$t$的向量。

这时各方能根据$M_r[c_r^{(1)},c_r^{(2)}]=y_r,r\in(v,w)$由$(y_v,M_v)$得到密态的$c_v^{(1)}||c_v^{(2)}$，$(y_w,M_w)$得到密态的$c_w^{(1)}||c_w^{(2)}$。

（6）各方联合计算

计算出：$C_v^{(1)}(x)=\sum_{j=0}^{t}c_{v,j}^{(1)}x^{t-j}$，$C_v^{(2)}(x)=x^t+\sum_{j=0}^{t}c_{v,j-1}^{(2)}x^{t-j}$和$C_w^{(1)}(x)=\sum_{j=0}^{t}c_{w,j}^{(1)}x^{t-j}$，$C_w^{(2)}(x)=x^t+\sum_{j=0}^{t}c_{w,j-1}^{(2)}x^{t-j}$

最终计算出密态的$z$。

（7）判断

各方使用$F_{DecZero}$检查$z$是否等于0（即对$z$解密）。如果是，输出0；如果不是，输出1。

优化

我们考虑在对插值生成$f(x)=P(x)/Q(x)$，当$Q(\alpha_i)=P(\alpha_i)=0$时，我们就不能求$f(x)$了。

解决办法就是，去掉该点：

使得$\widetilde{P}(x)=P(x)/(x-\alpha _i),\widetilde{Q}(x)=Q(x)/(x-\alpha _i),f(\alpha _i)=\widetilde{P}(\alpha _i)/\widetilde{Q}(\alpha _i)$

具体来讲，就是计算出点值对$(\alpha _i,Enc(pk,P_1(\alpha _i)/(x-\alpha _i))$，$(\alpha _i,Enc(pk,P_2(\alpha _i)/(x-\alpha _i)))$。

这里的$P_1(),P_2(X)$指的是$P(x),Q(x)$

然后再分别构造出$Enc(pk,M_r),Enc(pk,y_r)$，后面的不变。

另外协议也能推广到$deg(P(x))\neq deg(Q(x))$的情况。

多方阈值PSI

该协议的重点就是cardinality test protocol，能够安全的判断N方数据的交集和阈值的大小关系。

安全的势检测（Secure Cardinality Testing）

1、理想功能

2、具体实现

总结一下：

（1）各方先各自将数据编码为多项式，然后求出$4t+2$个点值，加密这些点，得到$4t+2$个密态值$Enc(pk,r_i*P_i(\alpha_j))$，广播出去。

（2）$P_1$得到$4t+2$个$c_i^{(j)}$，计算得到$d^{(j)}$，形成密态点值对$(\alpha_j,d^{(j)})$，并和私钥$sk_1$一起发送给理想函数$F_{SDT}$。

（3）其他参与方$P_2,...,P_N$也将各自的私钥$sk_i$发送给理想函数$F_{SDT}$，从而判断分子$P_1(x)$和分母$P_2(x)$的级数是否最大为$t$，然后输出结果。

完整的多方阈值PSI协议

在该协议中，通过使用TPKE扩展了之前的方案，具体协议如下：

总结一下：

（1）各方先将数据发送给理想函数$F_{MPCT}$，检测交集大小和阈值的大小关系。

（2）再通过理想函数$F_{Gen}$生成密钥：各方共享公钥$pk$，各自有一个私钥份$sk_i$。

（3）各方执行：

将数据$S_i$编码为多项式$P_i(x)$，计算出$3t+_1$个点值$P_i(\alpha_j)$。
采样$R_i(x)$，使得$deg(R_i(x))=t$。
加密：$c_i^{(j)}=Enc(pk,R_i(\alpha_j)*P_i(\alpha_j))$，然后广播出去。

（4）$P_1$将收到的对应的密文相加得到$3t+1$个值$d^{(j)}=\sum_{i}^{N}c_i^{(j)}$，再将其广播出去。

（5）联合解密出$V^{(j)}=Dec(sk,d^{(j)})$。

（6）$P_1$计算点$\widetilde{V}^{(j)}=V^{(j)}/P_1(\alpha_j)$，得到点值对$(\alpha_j,\widetilde{V}^{(j)})$，将其插值出函数$\widetilde{V}^{(j)}(x)$，再恢复出分母$P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(x)$。

（7）$P_1$根据自己数据$S_1=(a_1^{(1)},...,a_1^{(n)})$计算出$P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(a_1^{(j)})$，根据$P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(a_1^{(j)})\neq 0$，判断$a_1^{(j)}$是否在交集中。

（8）广播交集。

在这里给出了详细如何根据$P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(x)$，计算出交集！

正确性证明：

这样就能根据$3t+1$个点插值出$\widetilde{V}^{(j)}(x)$，再“恢复”出分母$P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(x)$，进而带入数据元素判断是否为交集元素。

总结

1、关键点“cardinality test protocol”，也是最难理解的

2、如何根据$f(x)$恢复出分母？