题面

给一个长为 \(n\) 的序列,\(m\) 次操作,每次操作:

1、区间 \([l,r]\) 加 \(x\)

2、对于区间 \([l,r]\),查询:

\[a[l]^{a[l+1]^{a[l+2]^{\dots ^{a[r]}}}} \pmod p
\]

\(n , m \le 500000\) , 序列中每个数在 \([1,2\cdot 10^9]\) 内,\(p \le 2 \cdot 10^7\) , 每次加上的数在 \([0,2\cdot 10^9]\) 内

思路

见区间操作,想线段树,但是这道题是可以树状数组的。

首先大家应该知道扩展欧拉定理(EX Euler Theorem):

\[a^{b} \equiv \left\{\begin{align}
a^{b}\ (b \lt φ(p))\\
a^{b \mod φ(p)+φ(p)}(b \ge φ(p))
\end{align}\right.\pmod{p}
\]

然后我们就可以设计一个递推来处理 \(2\) 操作。

注意,\(b\) 和 \(φ(p)\) 的大小关系不太好判断,我们可以暴力建一个结构体。

数据结构用树状数组

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std; int n,m;
int phi[20000003]; namespace bit{
int t[500005];
void clear(){memset(t,0,sizeof(t));}
inline int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
int query(int p){
int res=0;
while(p){
res+=t[p];
p-=lowbit(p);
}
return res;
}
void update(int p,int v){
while(p<=n){
t[p]+=v;
p+=lowbit(p);
}
}
void update(int l,int r,int v){
update(l,v);
update(r+1,-v);
}
} void phi_table(int n) {
memset(phi,0,sizeof(phi));
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!phi[i]) {
for (int j = i; j <= n; j += i) {
if (!phi[j]) {
phi[j] = j;
}
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
}
}
} int qzh[500005]; typedef pair<int,bool> node; inline node pow(int a,int t,int p){
node res = make_pair(1,0);
if(a>=p){a %= p;res.second = 1;}
while(t){
if(t&1) res.first *= a;
if(res.first>=p){res.second = 1;res.first %= p;}a *= a;
if(a>=p){res.second = 1;a %= p;}t >>= 1;}
return res;
} node solve(int l,int r,int x){
int left=bit::query(l);
node result;
if(x==1){
return make_pair(0,1);
}
if(left==1){
return make_pair(1,0);
}
if(l==r){
return left<x?make_pair(left,0):make_pair(left%x,1);
}
int phiv=phi[x];
result=solve(l+1,r,phiv);
if(result.second){
result.first+=phiv;
}
return pow(left,result.first,x);
} signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin>>n>>m;
phi_table(20000000);
bit::clear();
for(int i=1,tmp;i<=n;i++){
cin>>tmp;
bit::update(i,i,tmp);
}
while(m--){
int op,l,r,p;
cin>>op>>l>>r>>p;
if(op==1){
bit::update(l,r,p);
}
else{
cout<<solve(l,r,p).first<<'\n';
}
}
return 0;
}

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