P3934 [Ynoi2016] 炸脖龙 I

题面

给一个长为 \(n\) 的序列，\(m\) 次操作，每次操作：

1、区间 \([l,r]\) 加 \(x\)

2、对于区间 \([l,r]\)，查询：

\[a[l]^{a[l+1]^{a[l+2]^{\dots ^{a[r]}}}} \pmod p
\]

\(n , m \le 500000\) , 序列中每个数在 \([1,2\cdot 10^9]\) 内，\(p \le 2 \cdot 10^7\) ， 每次加上的数在 \([0,2\cdot 10^9]\) 内

思路

见区间操作，想线段树，但是这道题是可以树状数组的。

首先大家应该知道扩展欧拉定理（EX Euler Theorem)：

\[a^{b} \equiv \left\{\begin{align}
a^{b}\ (b \lt φ(p))\\
a^{b \mod φ(p)+φ(p)}(b \ge φ(p))
\end{align}\right.\pmod{p}
\]

然后我们就可以设计一个递推来处理 \(2\) 操作。

注意，\(b\) 和 \(φ(p)\) 的大小关系不太好判断，我们可以暴力建一个结构体。

数据结构用树状数组

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,m;
int phi[20000003];

namespace bit{
	int t[500005];
    void clear(){memset(t,0,sizeof(t));}
	inline int lowbit(int x){
		return x&(-x);
	}
	int query(int p){
		int res=0;
		while(p){
			res+=t[p];
			p-=lowbit(p);
		}
		return res;
	}
	void update(int p,int v){
		while(p<=n){
			t[p]+=v;
			p+=lowbit(p);
		}
	}
	void update(int l,int r,int v){
		update(l,v);
		update(r+1,-v);
	}
}

void phi_table(int n) {
	memset(phi,0,sizeof(phi));
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!phi[i]) {
			for (int j = i; j <= n; j += i) {
				if (!phi[j]) {
					phi[j] = j;
				}
				phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
			}
		}
	}
}

int qzh[500005];

typedef pair<int,bool> node;

inline node pow(int a,int t,int p){
	node res = make_pair(1,0);
	if(a>=p){a %= p;res.second = 1;}
	while(t){
		if(t&1) res.first *= a;
		if(res.first>=p){res.second = 1;res.first %= p;}a *= a;
		if(a>=p){res.second = 1;a %= p;}t >>= 1;}
	return res;
}

node solve(int l,int r,int x){
	int left=bit::query(l);
	node result;
	if(x==1){
		return make_pair(0,1);
	}
	if(left==1){
		return make_pair(1,0);
	}
	if(l==r){
		return left<x?make_pair(left,0):make_pair(left%x,1);
	}
	int phiv=phi[x];
	result=solve(l+1,r,phiv);
	if(result.second){
		result.first+=phiv;
	}
	return pow(left,result.first,x);
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cout.tie(nullptr);
	cin>>n>>m;
	phi_table(20000000);
    bit::clear();
	for(int i=1,tmp;i<=n;i++){
		cin>>tmp;
		bit::update(i,i,tmp);
	}
	while(m--){
		int op,l,r,p;
		cin>>op>>l>>r>>p;
		if(op==1){
			bit::update(l,r,p);
		}
		else{
			cout<<solve(l,r,p).first<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}