bzoj1010题解
【解题思路】
设s[i]=i+∑c[j](j∈[1,n]∩N)
易得转移方程f[i]=min{f[j]+(s[i]-s[j]-L-1)2},朴素算法复杂度O(n2)。
考虑斜率优化:记T[i]=s[i]+L+1
若成立f[j]+(s[i]-s[j]-L-1)2<=f[k]+(s[i]-s[k]-L-1)2(j<k)
<=>f[j]+(s[i]-T[j])2<=f[k]+(s[i]-T[k])2
<=>(f[j]+T[j]2)-(f[k]+T[k]2)<=2*s[i]*(T[j]-T[k])
<=>((f[j]+T[j]2)-(f[k]+T[k]2))/(T[j]-T[k])<=2*s[i]
则设P[i](T[i],f[i]+T[i]2),维护单调队列(按相邻两点斜率降序排序),当队列要加入i时,P[j]和P[k]的共存条件是(P[j]-P[k])斜率不超过2*s[i],整个单调队列呈一个下凸壳。时间复杂度O(n)。
【参考代码】
#include <cctype>
#include <cstdio>
#define REP(I,start,end) for(int I=(start);I<=(end);I++)
#define PER(I,start,end) for(int I=(start);I>=(end);I--)
typedef unsigned short US;
typedef unsigned long UL;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long double LD;
inline int space()
{
return putchar(' ');
}
inline int enter()
{
return putchar('\n');
}
inline bool eoln(char ptr)
{
return ptr=='\n';
}
inline bool eof(char ptr)
{
return ptr=='\0';
}
inline int getint()
{
char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch)&&ch!='+'&&ch!='-';ch=getchar());
bool impositive=ch=='-';
if(impositive)
ch=getchar();
int result=;
for(;isdigit(ch);ch=getchar())
result=(result<<)+(result<<)+ch-'';
return impositive?-result:result;
}
template<typename integer> inline int write(integer n)
{
integer now=n;
bool impositive=now<;
if(impositive)
{
putchar('-');
now=-now;
}
char sav[];
sav[]=now%+'';
int result=;
for(;now/=;sav[result++]=now%+'');
PER(i,result-,)
putchar(sav[i]);
return result+impositive;
}
template<typename integer> inline ULL sqr(integer n)
{
return ULL(n)*n;
}
//========================Header Template=====================
using namespace std;
int q[];
ULL dp[],sum[],L;
inline ULL getDP(int i,int j)
{
return dp[j]+sqr(sum[i]-sum[j]-L);
}
inline ULL getUP(int j,int k)
{
return dp[j]+sqr(sum[j]+L)-dp[k]-sqr(sum[k]+L);
}
inline ULL getDOWN(int j,int k)
{
return sum[j]-sum[k]<<;
}
int main()
{
int n=getint();
L=getint()+1ull;
sum[]=q[]=dp[]=0ull;
REP(i,,n)
sum[i]=sum[i-]+getint()+1ull;
int head=,tail=;
REP(i,,n)
{
while(head+<tail&&getUP(q[head+],q[head])<=sum[i]*getDOWN(q[head+],q[head]))
head++;
dp[i]=getDP(i,q[head]);
while(head+<tail&&getUP(i,q[tail-])*getDOWN(q[tail-],q[tail-])<getUP(q[tail-],q[tail-])*getDOWN(i,q[tail-]))
tail--;
q[tail++]=i;
}
write(dp[n]);
enter();
return ;
}
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