bzoj1010题解

【解题思路】

　　设s[i]=i+∑c[j](j∈[1,n]∩N)

　　易得转移方程f[i]=min{f[j]+(s[i]-s[j]-L-1)²}，朴素算法复杂度O(n²)。

　　考虑斜率优化：记T[i]=s[i]+L+1

若成立f[j]+(s[i]-s[j]-L-1)²<=f[k]+(s[i]-s[k]-L-1)²(j<k)

<=>f[j]+(s[i]-T[j])²<=f[k]+(s[i]-T[k])²

<=>(f[j]+T[j]²)-(f[k]+T[k]²)<=2*s[i]*(T[j]-T[k])

<=>((f[j]+T[j]²)-(f[k]+T[k]²))/(T[j]-T[k])<=2*s[i]

则设P[i](T[i],f[i]+T[i]²)，维护单调队列（按相邻两点斜率降序排序），当队列要加入i时，P[j]和P[k]的共存条件是(P[j]-P[k])斜率不超过2*s[i]，整个单调队列呈一个下凸壳。时间复杂度O(n)。

【参考代码】

 #include <cctype>
 #include <cstdio>
 #define REP(I,start,end) for(int I=(start);I<=(end);I++)
 #define PER(I,start,end) for(int I=(start);I>=(end);I--)
 typedef unsigned short US;
 typedef unsigned long UL;
 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long ULL;
 typedef long double LD;
 inline int space()
 {
     return putchar(' ');
 }
 inline int enter()
 {
     return putchar('\n');
 }
 inline bool eoln(char ptr)
 {
     return ptr=='\n';
 }
 inline bool eof(char ptr)
 {
     return ptr=='\0';
 }
 inline int getint()
 {
     char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch)&&ch!='+'&&ch!='-';ch=getchar());
     bool impositive=ch=='-';
     if(impositive)
         ch=getchar();
     int result=;
     for(;isdigit(ch);ch=getchar())
         result=(result<<)+(result<<)+ch-'';
     return impositive?-result:result;
 }
 template<typename integer> inline int write(integer n)
 {
     integer now=n;
     bool impositive=now<;
     if(impositive)
     {
         putchar('-');
         now=-now;
     }
     char sav[];
     sav[]=now%+'';
     int result=;
     for(;now/=;sav[result++]=now%+'');
     PER(i,result-,)
         putchar(sav[i]);
     return result+impositive;
 }
 template<typename integer> inline ULL sqr(integer n)
 {
     return ULL(n)*n;
 }
 //========================Header Template=====================
 using namespace std;
 int q[];
 ULL dp[],sum[],L;
 inline ULL getDP(int i,int j)
 {
     return dp[j]+sqr(sum[i]-sum[j]-L);
 }
 inline ULL getUP(int j,int k)
 {
     return dp[j]+sqr(sum[j]+L)-dp[k]-sqr(sum[k]+L);
 }
 inline ULL getDOWN(int j,int k)
 {
     return sum[j]-sum[k]<<;
 }
 int main()
 {
     int n=getint();
     L=getint()+1ull;
     sum[]=q[]=dp[]=0ull;
     REP(i,,n)
         sum[i]=sum[i-]+getint()+1ull;
     int head=,tail=;
     REP(i,,n)
     {
         while(head+<tail&&getUP(q[head+],q[head])<=sum[i]*getDOWN(q[head+],q[head]))
             head++;
         dp[i]=getDP(i,q[head]);
         while(head+<tail&&getUP(i,q[tail-])*getDOWN(q[tail-],q[tail-])<getUP(q[tail-],q[tail-])*getDOWN(i,q[tail-]))
             tail--;
         q[tail++]=i;
     }
     write(dp[n]);
     enter();
     return ;
 }