DP解LCS问题模板及其优化

LCS--Longest Common Subsequence，即最长公共子序列，一般使用DP来解。

常规方法：

dp[i][j]表示字符串s1前i个字符组成的字符串与s2前j个字符组成的字符串的LCS的长度，则当s1[i-1]==s2[j-1]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，否则dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。

最终的dp[len1][len2]即最终答案。代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 char s1[],s2[];
 int len1,len2;
 int dp[][];

 int main(){
     while(~scanf("%s%s",s1,s2)){
         len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);
         for(int i=;i<=len1;++i) dp[i][]=;
         for(int i=;i<=len2;++i) dp[][i]=;
         for(int i=;i<=len1;++i)
             for(int j=;j<=len2;++j)
                 if(s1[i-]==s2[j-])
                     dp[i][j]=dp[i-][j-]+;
                 else
                     dp[i][j]=max(dp[i-][j],dp[i][j-]);
         printf("%d\n",dp[len1][len2]);
     }
     return ;
 }

如果需要打印路径：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 char s1[],s2[];
 int len1,len2;
 int dp[][],path[][];

 void print(int p1,int p2){
     if(p1==||p2==) return;
     else{
         if(path[p1][p2]==) print(p1-,p2-),printf("%c",s1[p1-]);
         else if(path[p1][p2]==) print(p1-,p2);
         else print(p1,p2-);
     }
 }

 int main(){
     while(~scanf("%s%s",s1,s2)){
         len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);
         for(int i=;i<=len1;++i) dp[i][]=;
         for(int i=;i<=len2;++i) dp[][i]=;
         for(int i=;i<=len1;++i)
             for(int j=;j<=len2;++j)
                 if(s1[i-]==s2[j-])
                     dp[i][j]=dp[i-][j-]+,path[i][j]=;
                 else if(dp[i-][j]>=dp[i][j-])
                     dp[i][j]=dp[i-][j],path[i][j]=;
                 else
                     dp[i][j]=dp[i][j-],path[i][j]=;
         printf("%d\n",dp[len1][len2]);
         print(len1,len2);
         printf("\n");
     }
     return ;
 }

空间优化：

如果只需要求LCS的长度，实际上只需要dp[n]就行了，应用滚动数组。因为dp[i][j]由dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1]，用dp[j]表示dp[i][j]，则更新dp[j]时用pre存储dp[i-1][j-1]，此时的dp[j-1]表示dp[i][j-1]，此时的dp[j]表示dp[i-1][j]，这样就大大优化了空间，详见代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 char s1[],s2[];
 int len1,len2,pre,tmp;
 int dp[];

 int main(){
     while(~scanf("%s%s",s1,s2)){
         len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);
         memset(dp,,sizeof(dp));
         for(int i=;i<=len1;++i){
             pre=;
             for(int j=;j<=len2;++j){
                 tmp=dp[j];
                 if(s1[i-]==s2[j-])
                     dp[j]=pre+;
                 else
                     dp[j]=max(dp[j-],dp[j]);
                 pre=tmp;
             }
         }
         printf("%d\n",dp[len2]);
     }
     return ;
 }

时间优化：

据说可以将LCS转换为LIS解法，从而使时间复杂度降为O(nlogn)，但似乎在某些特殊情况复杂度比常规做法更麻烦，不被建议使用。等以后接触时再更......