树-二叉平衡树AVL

基本概念

AVL树：树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。

AVL实现

AVL树的节点包括的几个组成对象:
(01) key -- 是关键字，是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height -- 是高度。即空的二叉树的高度是0，非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1，根的子节点为第2层，依次类推)。

AVL旋转算法

AVL失衡四种形态：

LL(根的左子树的左子树高)：根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2。

LR(根的左子树的右子树高)：根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2。

RL(根的右子树的左子树高)：根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2。

RR(根的右子树的右子树高)：根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2。

旋转算法实现

1 LL（一步到位）

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着"左孩子，即k1"使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，"k1的右子树"变成"k2的左子树"。

/*
* LL：左左对应的情况(左单旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
static Node* left_left_rotation(AVLTree k2)
{
    AVLTree k1;

    k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;

    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1;
    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1;

    return k1;
}

2 RR（一步到位）

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

/*
* RR：右右对应的情况(右单旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
static Node* right_right_rotation(AVLTree k1)
{
    AVLTree k2;

    k2 = k1->right;
    k1->right = k2->left;
    k2->left = k1;

    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1;
    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1;

    return k2;
}

3 LR（两步旋转RR->LL）

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转"，第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。

/*
* LR：左右对应的情况(左双旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
static Node* left_right_rotation(AVLTree k3)
{
    k3->left = right_right_rotation(k3->left);

    return left_left_rotation(k3);
}

4 RL（两步旋转LL->RR）

RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转"，第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。

/*
* RL：右左对应的情况(右双旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
static Node* right_left_rotation(AVLTree k1)
{
    k1->right = left_left_rotation(k1->right);

    return right_right_rotation(k1);
}

 

AVL操作

插入

步骤1：递归插入到左子树或右子树（left<root<right）;

步骤2：比较左右子树高度来确定AVL失衡处理类型：

插入到左子树，就有LL和LR：通过left<root<right确定；

插入到右子树，就有RL和RR：通过left<root<right确定；

步骤3：修正树高。

删除