LA 4119 (差分数列 多项式) Always an integer

题意：

给出一个形如(P)/D的多项式，其中P是n的整系数多项式，D为整数。

问是否对于所有的正整数n，该多项式的值都是整数。

分析：

可以用数学归纳法证明，若P(n)是k次多项式，则P(n+1) - P(n)为k-1次多项式。

P是n的一次多项式时，P是一个等差数列，只要验证P(1)和P(2)是D的倍数即可。

P是n的二次多项式时，只要验证第一项为D的倍数，且相邻两项的差值也是D的倍数即可。相邻两项的差值为一次多项式，所以要验证两项，加上前面验证的第一项，所以共验证P(1)、P(2)和P(3)三项。

一般地，要验证k次多项式，只要验证P(1)...P(k+1)即可。

计算多项式的值可以用高中数学课本讲到过的秦九韶算法。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <string>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 using namespace std;

 const int maxn =  + ;
 int a[maxn], p;//a[i]表示n^i对应的系数，p为最高系数

 void parse_polynomial(string s)
 {
     int i = , len = s.size();
     while(i < len)
     {
         int sign = ;
         if(s[i] == '+') i++;
         if(s[i] == '-') { i++; sign = -; }
         int v = ;//系数
         while(i < len && isdigit(s[i])) v = v *  + s[i++] - '';
         v *= sign;
         if(i == len) a[] = v;//常数项
         else
         {
             if(v == ) v = sign;
             int u = ;//没有指数
             if(s[++i] == '^')//有指数
             {
                 u = ;
                 i++;
                 while(isdigit(s[i])) u = u *  + s[i++] - '';
             }
             a[u] = v;
             if(u > p) p = u;
         }
     }
 }

 int mod(int x, int MOD)
 {
     int ans = ;
     for(int i = p; i >= ; i--)
     {
         ans = (long long) ans * x % MOD;//注意不要溢出
         ans = ((long long) ans + a[i]) % MOD;
     }
     return ans;
 }

 bool check(string& expr)
 {
     int p = expr.find('/');
     parse_polynomial(expr.substr(, p-));
     int D = atoi(expr.substr(p+).c_str());
     for(int i = ; i <= p+; i++)
         if(mod(i, D) != ) return false;
     return true;
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt", "r", stdin);

     int kase = ;
     string expr;
     while(cin >> expr)
     {
         if(expr[] == '.') break;
         memset(a, , sizeof(a));
         p = ;
         printf("Case %d: %s\n", kase++, check(expr) ? "Always an integer" : "Not always an integer");
     }

     return ;
 }

代码君