【XSY3345】生成树 并查集

题目大意

　　有一个两部各有 \(n\) 个节点的二分图 \(G\)，定义 \(G^m\) 为一个 \(m+1\) 层的图，每层有 \(n\) 个节点，相邻两层的诱导子图都和 \(G\) 相同。

　　给你 \(m\)，求对于所有 \(1\leq i\leq m\)，\(G^i\) 的最小生成树的边权和。

　　保证图连通。

　　\(n,m\leq 100000,\text{边数 }\leq 200000,\text{边权}\leq 30\)

题解

　　对于 \(G^i\)，先求出用了多少种边权 \(<j\) 的边，再求出用了多少条边权 \(\leq j\) 的边，就可以得到用了多少条边权为 \(j\) 的边。

　　那么边权就可以忽略了。

　　现在要求出 \(G^i\) 有多少条边。

　　从左往右扫，用并查集维护最后两层节点的连通性。

　　那么再下一层的并查集肯定会是这两层的并查集加上一点边。

　　当我们处理完一层的时候，求出这层新加的边对下一层的贡献。

　　这层每加一条边，下一层就要在这两个集合右侧的点之间连边。

　　然后不停地往右边传就好了。

　　每加一条边就会合并两个集合，所以总共会加 \(O(n)\) 条边。

　　时间复杂度：\(O(w(n+m+e)\alpha(n))\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=200010;
int f[N];
vector<pii> g[40],a,b;
int find(int x)
{
	return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}
int c[N];
int merge(int x,int y)
{
	if(find(x)==find(y))
		return 0;
	if(!c[find(y)])
		c[find(y)]=c[find(x)];
	f[find(x)]=find(y);
	return 1;
}
int n,m,e;
ll ans[N];
ll s[N];
ll d[N];
int main()
{
	open("c");
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);
	int x,y,w;
	for(int i=1;i<=e;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
		g[w].push_back(pii(x,y));
	}
	for(int i=1;i<=30;i++)
	{
		a.clear();
		for(int j=1;j<=i;j++)
			for(auto v:g[j])
				a.push_back(v);
		for(int j=1;j<=2*n;j++)
			f[j]=j;
		for(int j=1;j<=m;j++)
			d[j]=0;
		for(int j=1;j<=2*n;j++)
			c[j]=0;
		for(auto v:a)
			d[1]+=merge(v.first,v.second+n);
		b.clear();
		for(int j=n+1;j<=2*n;j++)
			if(!c[find(j)])
				c[find(j)]=j;
			else
				b.push_back(pii(c[find(j)]-n,j-n));
		for(int j=2;j<=m;j++)
		{
			a=b;
			b.clear();
			for(auto v:a)
				if(find(v.first)!=find(v.second))
				{
					if(c[find(v.first)]&&c[find(v.second)])
						b.push_back(pii(c[find(v.first)]-n,c[find(v.second)]-n));
					merge(v.first,v.second);
				}
				else
					d[j]--;
		}
		for(int j=2;j<=m;j++)
			d[j]+=d[j-1];
		for(int j=2;j<=m;j++)
			d[j]+=d[j-1];
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			ans[j]+=i*(d[j]-s[j]);
			s[j]=d[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}