【算法】最短路树+(树链剖分+线段树)||最短路树+并查集

【题解】

两种方法的思想是一样的，首先题目限制了最短路树唯一。

那么建出最短路树后，就是询问对于每个点断掉父边后重新找路径的最小值，其它路径只能是这个点和其子树节点通过非树边到达非子树节点。

这样考虑很难统计，换个角度考虑每条非树边的影响。

一条非树边连接两个端点u,v，它们会有一个LCA，那么这条非树边就可以影响u~LCA和v~LCA两条链上的点。

这样依然不方便统计，因为两条链上每个点的影响各不相同，所以使用差分的思想。

定义一条非树边对两条链上的点的贡献为g[i]=dis[u]+dis[v]+e[i].w，那么对于两条链上的每个点就是ans[x]=min(ans[x],g[i]-dis[x])，因为dis[x]是每个点自身属性，那么就可以统一地对两条链上上的点赋值g[i]。

现在，我们可以明确每条非树边对特定的两条边的贡献，那么显然可以用树链剖分+线段树对两条链上的点进行【区间最小值覆盖+单点查询最小值】，这一操作可以用标记永久化实现。

考虑另一种写法，如果我们把非树边按贡献排序，那么贡献小的覆盖之后，贡献大的就不可能影响到这些被覆盖过的点了，那么可以将覆盖过的点用并查集合并为一个点，遇到直接跳。

复杂度O(m log n)。

<并查集>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<queue>

#include<cctype>

#include<cstring>

using namespace std;

const int maxn=,inf=0x3f3f3f3f;

struct edge{int u,v,w,from;}e[maxn*];

int n,m,cnt,ans[maxn],first[maxn],tot,fa[maxn],f[maxn],deep[maxn],dis[maxn],d[maxn],c[maxn];

int read()

{

    char c;int s=,t=;

    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;

    do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));

    return s*t;

}

void insert(int u,int v,int w)

{tot++;e[tot].u=u;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}

int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}

struct cyc{

    int x,d;

    bool operator < (const cyc &a)const{

        return d>a.d;

    }

};

priority_queue<cyc>q;

void dijkstra(){

    memset(d,0x3f,sizeof(d));

    deep[]=d[]=;q.push((cyc){,});

    while(!q.empty()){

        cyc x=q.top();q.pop();

        if(x.d!=d[x.x])continue;

        for(int i=first[x.x];i;i=e[i].from)if(d[e[i].v]>d[x.x]+e[i].w){

            d[e[i].v]=d[x.x]+e[i].w;

            deep[e[i].v]=deep[x.x]+;

            f[e[i].v]=x.x;

            q.push((cyc){e[i].v,d[e[i].v]});

        }

    }

}

struct cyc2{int u,v,num;}b[maxn];

bool cmp(cyc2 a,cyc2 b){return a.num<b.num;}

int main(){

    n=read();m=read();

    int u,v,w;

    for(int i=;i<=m;i++){

        u=read();v=read();w=read();

        insert(u,v,w);insert(v,u,w);

    }

    dijkstra();

    for(int i=;i<=tot;i+=){

        if(deep[e[i].u]<deep[e[i].v])swap(e[i].u,e[i].v);

        if(d[e[i].u]!=d[e[i].v]+e[i].w)b[++cnt]=(cyc2){e[i].u,e[i].v,d[e[i].u]+d[e[i].v]+e[i].w};

    }

    sort(b+,b+cnt+,cmp);

    for(int i=;i<=n;i++)fa[i]=i;

    f[]=;//初始父亲

    for(int i=;i<=cnt;i++){

        int x=find(b[i].u),y=find(b[i].v);

        while(x!=y){

            if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);

            if(!ans[x])ans[x]=b[i].num;

            x=fa[x]=find(f[x]);

        }

    }

    for(int i=;i<=n;i++)if(!ans[i])printf("-1\n");else printf("%d\n",ans[i]-d[i]);

    return ;

}

补充说明：【排序+并查集】是一种套路，处理MST的著名算法kruskal就是使用这种思想。这种做法要求无后效性，将价值最大的边纳入然后并成一个点继续处理，从而保证最优性。

<树链剖分+线段树>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f,maxn=,maxm=;

struct edge{int u,from,v,w;}e[maxm*];

struct tree{int l,r,tag;}t[maxn*];

int n,m,tot=,first[maxn],q[],fa[maxn],deep[maxn],d[maxn],top[maxn],pos[maxn],size[maxn],te[maxn],dfsnum=;

bool mark[maxm*],vis[maxn];

void insert(int u,int v,int w)

{tot++;e[tot].u=u;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}

void spfa()

{

    memset(d,0x3f,sizeof(d));

    memset(mark,,sizeof(mark));

    memset(vis,,sizeof(vis));

    int head=,tail=;q[]=;vis[]=;d[]=;

    while(head!=tail)

     {

         int x=q[head++];if(head>)head=;

         for(int i=first[x];i;i=e[i].from)

          if(d[e[i].v]>d[x]+e[i].w)

           {

               int y=e[i].v;

               d[y]=d[x]+e[i].w;

               fa[y]=x;

               mark[te[y]]=;

               te[y]=i;

               mark[i]=;

               if(!vis[y]){q[tail++]=y;if(tail>)tail=;}

               vis[y]=;

           }

         vis[x]=;

     }

//    for(int i=1;i<=n;i++)printf("fa[%d]=%d d[%d]=%d\n",i,fa[i],i,d[i]);

//    for(int i=1;i<=tot;i++)printf("[%d]%d %d %d\n",i,e[i].u,e[i].v,mark[i]);

}

void build(int k,int l,int r)

{

    t[k].l=l;t[k].r=r;t[k].tag=inf;

    if(l==r)return;

    int mid=(l+r)>>;

    build(k<<,l,mid);

    build(k<<|,mid+,r);

}

void dfs1(int x)

{

    size[x]=;

    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)

     if(mark[i])

      {

          int y=e[i].v;

          deep[y]=deep[x]+;

          dfs1(y);

          size[x]+=size[y];

      }

}

void dfs2(int x,int tp)

{

    int k=;

    top[x]=tp;

    pos[x]=++dfsnum;

    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)

     if(mark[i]&&size[e[i].v]>size[k])k=e[i].v;

    if(k==)return;

    dfs2(k,tp);

    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)

     if(mark[i]&&e[i].v!=k)dfs2(e[i].v,e[i].v);

}

void seg_insert(int k,int l,int r,int x)

{

    if(l<=t[k].l&&t[k].r<=r)

     {

         t[k].tag=min(t[k].tag,x);

         return;

     }

    else

     {

         int mid=(t[k].l+t[k].r)>>;

         if(l<=mid)seg_insert(k<<,l,r,x);

         if(r>mid)seg_insert(k<<|,l,r,x);

     }

}

int seg_ask(int k,int x)

{

    if(t[k].l==t[k].r)return t[k].tag;

    int mid=(t[k].l+t[k].r)>>;

    if(x<=mid)return min(t[k].tag,seg_ask(k<<,x));

     else return min(t[k].tag,seg_ask(k<<|,x));

}

void solve_ins(int x,int y,int w)

{

    while(top[x]!=top[y])

     {

         if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);

         seg_insert(,pos[top[x]],pos[x],w);

         x=fa[top[x]];

     }

    if(pos[x]>pos[y])swap(x,y);

    if(pos[x]<pos[y])seg_insert(,pos[x]+,pos[y],w);

}

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    int u,v,w;

    for(int i=;i<=m;i++)

     {

         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

         insert(u,v,w);insert(v,u,w);

     }

    spfa();

    build(,,n);dfs1();dfs2(,);//printf("sldf\n");

    for(int i=;i<=m;i++)

     if(!mark[i*-]&&!mark[i*])solve_ins(e[i*].u,e[i*].v,d[e[i*].u]+d[e[i*].v]+e[i*].w);

//    printf("asfjld\n");

    for(int i=;i<=n;i++)

     {

         int ans=seg_ask(,pos[i]);

         if(ans>inf-)ans=d[i]-;

         printf("%d\n",ans-d[i]);

     }

    return ;

}

SPFA+链剖+线段树

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<queue>

using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f,maxn=,maxm=;

struct edge{int u,from,v,w;}e[maxm*];

struct tree{int l,r,tag;}t[maxn*];

int n,m,tot=,first[maxn],fa[maxn],deep[maxn],d[maxn],top[maxn],pos[maxn],size[maxn],te[maxn],dfsnum=;

bool mark[maxm*],vis[maxn];

void insert(int u,int v,int w)

{tot++;e[tot].u=u;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}

struct Node{int x,d;}cyc;

priority_queue<Node>q;

bool operator <(Node a,Node b)

{return a.d>b.d;}

void dijkstra()

{

    memset(d,0x3f,sizeof(d));

    memset(mark,,sizeof(mark));

    d[]=;cyc.d=;cyc.x=;q.push(cyc);

    while(!q.empty())

     {

         cyc=q.top();q.pop();

         int x=cyc.x;

         if(cyc.d!=d[x])continue;

         for(int i=first[x];i;i=e[i].from)

          if(d[e[i].v]>d[x]+e[i].w)

           {

               int y=e[i].v;

               d[y]=d[x]+e[i].w;

               cyc.x=y;cyc.d=d[y];q.push(cyc);

               mark[te[y]]=;

               te[y]=i;mark[i]=;

               fa[y]=x;

           }

     }

//    for(int i=1;i<=n;i++)printf("fa[%d]=%d d[%d]=%d\n",i,fa[i],i,d[i]);

//    for(int i=1;i<=tot;i++)printf("[%d]%d %d %d\n",i,e[i].u,e[i].v,mark[i]);

}

void build(int k,int l,int r)

{

    t[k].l=l;t[k].r=r;t[k].tag=inf;

    if(l==r)return;

    int mid=(l+r)>>;

    build(k<<,l,mid);

    build(k<<|,mid+,r);

}

void dfs1(int x)

{

    size[x]=;

    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)

     if(mark[i])

      {

          int y=e[i].v;

          deep[y]=deep[x]+;

          dfs1(y);

          size[x]+=size[y];

      }

}

void dfs2(int x,int tp)

{

    int k=;

    top[x]=tp;

    pos[x]=++dfsnum;

    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)

     if(mark[i]&&size[e[i].v]>size[k])k=e[i].v;

    if(k==)return;

    dfs2(k,tp);

    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)

     if(mark[i]&&e[i].v!=k)dfs2(e[i].v,e[i].v);

}

void seg_insert(int k,int l,int r,int x)

{

    if(l<=t[k].l&&t[k].r<=r)

     {

         t[k].tag=min(t[k].tag,x);

         return;

     }

    else

     {

         int mid=(t[k].l+t[k].r)>>;

         if(l<=mid)seg_insert(k<<,l,r,x);

         if(r>mid)seg_insert(k<<|,l,r,x);

     }

}

int seg_ask(int k,int x)

{

    if(t[k].l==t[k].r)return t[k].tag;

    int mid=(t[k].l+t[k].r)>>;

    if(x<=mid)return min(t[k].tag,seg_ask(k<<,x));

     else return min(t[k].tag,seg_ask(k<<|,x));

}

void solve_ins(int x,int y,int w)

{

    while(top[x]!=top[y])

     {

         if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);

         seg_insert(,pos[top[x]],pos[x],w);

         x=fa[top[x]];

     }

    if(pos[x]>pos[y])swap(x,y);

    if(pos[x]<pos[y])seg_insert(,pos[x]+,pos[y],w);

}

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    int u,v,w;

    for(int i=;i<=m;i++)

     {

         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

         insert(u,v,w);insert(v,u,w);

     }

    dijkstra();

    build(,,n);dfs1();dfs2(,);//printf("sldf\n");

    for(int i=;i<=m;i++)

     if(!mark[i*-]&&!mark[i*])solve_ins(e[i*].u,e[i*].v,d[e[i*].u]+d[e[i*].v]+e[i*].w);

//    printf("asfjld\n");

    for(int i=;i<=n;i++)

     {

         int ans=seg_ask(,pos[i]);

         if(ans>inf-)ans=d[i]-;

         printf("%d\n",ans-d[i]);

     }

    return ;

}

Dijkstra+链剖+线段树

事实证明，Dijkstra比SPFA稳得多，虽然也可能是故意卡的，但终归卡不了Dijkstra，因为本来理论上界就小。

Dijkstra+Heap 2.5s

SPFA+SLF 10s

SPFA TLE

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