【ARC076F】 Exhausted

hall定理大概是匈牙利的理论基础吧

hall定理的内容：二分图\(G\)的的左部点点集为\(\rm X\)，右部点点集为\(\rm Y\)，设\(|\rm X|\leq |Y|\)，则二分图\(G\)存在完美匹配，即匹配个数为\(|\rm X|\)当且仅当，对于\(\rm X\)的任一子集\(\rm X'\)，满足\(|\rm X'|\leq |\rm Nb(X')|\)，\(\rm Nb(X')\)为\(\rm X'\)的邻居点集

必要性显然，考虑证明其充分性。

使用反证法，对于一张满足hall定理的二分图，设其不存在完美匹配，我们找到\(\rm X\)中一个不在最大匹配中的点，由于满足hall定理这个点一定连向了\(\rm Y\)中某些点，又因为该点不在最大匹配中，那么其连向的点都已经跟其他点匹配；我们再把跟这些点匹配的点考虑进来，根据hall定理，我们还能找到一些跟这些点相连但已经匹配的点，再把跟这些匹配的点考虑进来；最后不难推出，不存在满足hall定理但不存在完美匹配的二分图。

hall定理还有一条推论:二分图\(G\)的最大匹配为\(|\rm X|-\max(|X'|-|Nb(X')|)\)，这条推论对于我们求二分图最大匹配有一定启发

对于这道题，可以显然的构造一个二分图模型，答案就是n-最大匹配；

直接建图是不可取的，考虑使用上面的推论，我们需要找到一个\(\rm X'\)使得\(\rm |X'|-|Nb(X')|\)即可

对于第\(i\)个人他可以连边的区间是\([1,l_i]\cup [r_i,m]\)，由于\(\rm Nb(X)\)本质上是点集的并，而这样不是很好考虑；于是我们做一个简单的转化，我们求一下不能连边的区间的交，对全集取一个补集得到的就是区间的并

于是我们的目标是找到一个集合\(S\)，最大化

\[|S|-(m-|\cap_{i\in S}(l_i,r_i)|)=|S|+|\cap_{i\in S}(l_i,r_i)|-m
\]

先来考虑没有交的情况，那么只需要让\(|S|\)最大，于是答案就是\(n-m\)

再来考虑有交的情况，之后对于当前的一个区间\((l_i,r_i)\)我们考虑交的左端点为\(l_i\)的时候的答案是多少，那么交为\((l_i,k)\)的时候的答案就是\(k-l_i+\sum [r_j\geq k][l_j\leq l_i]\)；于是把区间排序之后线段树+扫描线维护即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=2e5+5;
struct Seg{int x,y;}a[maxn];
int n,m,ans;
inline int cmp(const Seg A,const Seg B) {return A.x==B.x?A.y>B.y:A.x<B.x;}
int l[maxn<<2],r[maxn<<2],tag[maxn<<2],mx[maxn<<2];
inline int max(int a,int b) {return a>b?a:b;}
inline void add(int i,int v) {tag[i]+=v,mx[i]+=v;}
inline void pushup(int i) {mx[i]=max(mx[i<<1],mx[i<<1|1]);}
void build(int x,int y,int i) {
	l[i]=x,r[i]=y;tag[i]=0;if(x==y){mx[i]=x;return;}
	int mid=x+y>>1;build(x,mid,i<<1),build(mid+1,y,i<<1|1);pushup(i);
}
inline void pushdown(int i) {
	if(!tag[i]) return;
	add(i<<1,tag[i]),add(i<<1|1,tag[i]);tag[i]=0;
}
void change(int x,int y,int v,int i) {
	if(x<=l[i]&&y>=r[i]) {add(i,v);return;}
	int mid=l[i]+r[i]>>1;pushdown(i);
	if(x<=mid) change(x,y,v,i<<1);
	if(y>mid) change(x,y,v,i<<1|1);
	pushup(i);
}
int query(int x,int y,int i) {
	if(x<=l[i]&&y>=r[i]) return mx[i];
	int mid=l[i]+r[i]>>1;pushdown(i);
	if(y<=mid) return query(x,y,i<<1);
	if(x>mid) return query(x,y,i<<1|1);
	return max(query(x,y,i<<1),query(x,y,i<<1|1));
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(re int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
	std::sort(a+1,a+n+1,cmp);int nl=0,nr=m+1;
	for(re int i=1;i<=n;i++) nl=max(nl,a[i].x),nr=min(nr,a[i].y);
    ans=n+(nl<nr?nr-nl-1:0);
	build(0,m+1,1);
	for(re int i=1;i<=n;i++) {
		int nw=query(a[i].x+1,a[i].y,1);
		ans=max(ans,nw-a[i].x);
		change(0,a[i].y,1,1);
	}
	printf("%d\n",ans>m?ans-m:0);return 0;
}