扩展中国剩余定理 (ExCRT)

扩展中国剩余定理 (ExCRT) 学习笔记

预姿势：

扩展中国剩余定理和中国剩余定理半毛钱关系都没有

问题：

求解线性同余方程组：

\[ f(n)=\begin{cases}
x\equiv a_1\pmod {m_1}\\
x\equiv a_2\pmod {m_2}\\
... ...\\
x\equiv a_n\pmod {m_n}\\
\end{cases}\]

的解\(x\)。

\(m\)两两之间不一定互质！

解法：

ExCRT的基本思想是将方程两两合并，合并规则如下：

定义

\[inv(a,b)
\]

表示\(a\)在模\(b\)意义下的逆元。

\[(a,b)
\]

表示\(gcd(a,,b)\)，即\(a\)和\(b\)的最大公约数。

则：

\[c=(inv(\frac{m_1}{(m_1,m_2)},\frac{m_2}{(m_1,m_2)})*\frac{(c_2-c_1)}{(m_1,m_2)})\%\frac{m_2}{(m_1,m_2)}*m_1+c_1
\]

\[m=\frac{m_1m_2}{(m_1,m_2)}
\]

就可以将

\[\begin{cases}
x\equiv c_1\pmod {m_1}\\
x\equiv c_2\pmod {m_2}\\
\end{cases}\]

合并成

\[x\equiv c\pmod m
\]

的形式。

然后就好了。。。

证明\推导过程：

看这里

反正我也不会推，背过公式就好了（理直气壮）

Code

inline void excrt(ll k1,ll k2)
{
	ll m1=m[k1],m2=m[k2],c1=c[k1],c2=c[k2],g=gcd(m1,m2);
	if((c2-c1)%g) {printf("-1\n");flag=1;return;}
	ll cc=(inv(m1/g,m2/g)*(c2-c1)/g)%(m2/g)*m1+c1;
	ll mm=m1*m2/gcd(m1,m2);
	m[k2]=mm; c[k2]=cc; c[k2]=(c[k2]%mm+mm)%mm;
}
//然后最后答案就是c[n]