『The Captain 最短路建图优化』

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<第一次更新>

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<正文>

The Captain(BZOJ 4152)

Description

给定平面上的n个点，定义(x1,y1)到(x2,y2)的费用为min(|x1-x2|,|y1-y2|)，求从1号点走到n号点的最小费用。

Input Format

第一行包含一个正整数n(2<=n<=200000)，表示点数。

接下来n行，每行包含两个整数xi,yi(0<=xi,yi<=10^9)，依次表示每个点的坐标。

Output Format

一个整数，即最小费用。

Sample Input

5
2 2
1 1
4 5
7 1
6 7

Sample Output

2

解析

假如说我们直接将平面中的每一个点视为图中的每一个点的话，这就是一道最短路问题。但是显而易见的是我们需要连\(n^2\)条边，这是一定会超时的，主要考虑如何建图优化。

手推几个样例可以发现图中有很多无用的边存在，我们考虑证明什么情况下的连边是不必要的。

证明:

对于任意两点\(P,Q\)，其距离为\(\min\{\Delta x,\Delta y\}\).

• 距离取\(\Delta x\)：
  
  假如在横坐标意义上\(P,Q\)有中间点\(M\).

1. \(PM\)取\(\Delta x_{pm}\)，\(MQ\)取\(\Delta x_{mq}\)，则\(PQ\)连边和\(PM\)，\(MQ\)等价.
2. \(PM\)取\(\Delta x_{pm}\)，\(MQ\)取\(\Delta y_{mq}\)，由于\(\Delta y_{mq}<\Delta x_{mq}\)，\(PQ\)连边大于\(PM\)，\(MQ\).
3. \(PM\)取\(\Delta y_{pm}\)，\(MQ\)取\(\Delta x_{mq}\)，由于\(\Delta y_{pm}<\Delta x_{pm}\)，\(PQ\)连边大于\(PM\)，\(MQ\).
4. \(PM\)取\(\Delta y_{pm}\)，\(MQ\)取\(\Delta y_{mq}\)，由于\(\Delta y_{pm}<\Delta x_{pm}\)，\(\Delta y_{mq}<\Delta x_{mq}\)，\(PQ\)连边大于\(PM\)，\(MQ\).
   
   所以，当\(P,Q\)距离取\(\Delta x\)，且横坐标意义上\(P,Q\)有中间点\(M\)时，\(PQ\)连边一定不能对最优解造成贡献。

• 距离取\(\Delta y\)：
  
  假如在纵坐标意义上\(P,Q\)有中间点\(M\)，同理\(PQ\)连边一定不能对最优解造成贡献。

得出结论：当\(P,Q\)距离取\(\Delta x\)，且横坐标意义上\(P,Q\)有中间点\(M\)，或者距离取\(\Delta y\)，纵坐标意义上\(P,Q\)有中间点\(M\)时，\(PQ\)连边一定不能对最优解造成贡献。

那么这就是不必要连的边。相反，则任意两点\(U,V\)距离取\(\Delta x\)，且横坐标意义上\(U,V\)相邻，或者\(U,V\)距离取\(\Delta y\)，且纵坐标意义上\(U,V\)相邻时，\(U,V\)连边是必要的。

那么我们把必要的边连起来就行了，这样的边至多有\(2n\)条，堆优化\(Dijkstra\)解决最短路问题。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200000+80;
struct node{int num,x,y;}p[N];
struct edge{int ver,val,next;}e[N*4];
int n,t,Last[N*4],dis[N],vis[N];
inline bool cmp1(node p1,node p2){return p1.x<p2.x;}
inline bool cmp2(node p1,node p2){return p1.y<p2.y;}
inline bool check1(node p1,node p2){return p2.x-p1.x<=abs(p1.y-p2.y);}
inline bool check2(node p1,node p2){return p2.y-p1.y<abs(p1.x-p2.x);}
inline void insert(int x,int y,int v)
{
	e[++t].val=v;e[t].ver=y;
	e[t].next=Last[x];Last[x]=t;
}
inline void input(void)
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
		p[i].num=i;
	}
}
inline void init(void)
{
	sort(p+1,p+n+1,cmp1);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		if(check1(p[i],p[i+1]))
			insert(p[i].num,p[i+1].num,p[i+1].x-p[i].x),insert(p[i+1].num,p[i].num,p[i+1].x-p[i].x);;
	}
	sort(p+1,p+n+1,cmp2);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
        if(check2(p[i],p[i+1]))
		    insert(p[i].num,p[i+1].num,p[i+1].y-p[i].y),insert(p[i+1].num,p[i].num,p[i+1].y-p[i].y);
	}
}
inline void dijkstra(void)
{
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	priority_queue< pair<int,int>,vector< pair<int,int> >,greater< pair<int,int> > >Heap;
	dis[1]=0;Heap.push(make_pair(0,1));
	while(!Heap.empty())
	{
		int temp=Heap.top().second;
		Heap.pop();
		if(vis[temp])continue;
		vis[temp]=true;
		for(int i=Last[temp];i;i=e[i].next)
		{
			if(dis[e[i].ver]>dis[temp]+e[i].val)
			{
				dis[e[i].ver]=dis[temp]+e[i].val;
				Heap.push(make_pair(dis[e[i].ver],e[i].ver));
			}
		}
	}
}
int main(void)
{
	input();
	init();
	dijkstra();
	printf("%d\n",dis[n]);
	return 0;
}

---

<后记>