[笔记]LibSVM源码剖析（java版）

之前学习了SVM的原理（见http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6444249.html），以及SMO算法的理论基础（见http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6444516.html）。最近又学习了SVM的实现：LibSVM（版本为3.22），在这里总结一下。

1. LibSVM整体框架

Training:

parse_command_line
    从命令行读入需要设置的参数，并初始化各参数
read_problem
    读入训练数据
svm_check_parameter
    检查参数和训练数据是否符合规定的格式
do_cross_validation
    svm_cross_validation
        对训练数据进行均匀划分，使得同一个类别的数据均匀分布在各个fold中
        最终得到的数组中，相同fold的数据的索引放在连续内存空间数组中
        Cross Validation（k fold）
            svm_train（使用k-1个fold的数据做训练）
            svm_predict（使用剩下的1个fold的数据做预测）
        得到每个样本在Cross Validation中的预测类别
    得出Cross Validation的准确率
svm_train
    classification
        svm_group_classes
            对训练数据按类别进行分组重排，相同类别的数据的索引放在连续内存空间数组中
            得到类别总数：nr_class，每个类别的标识：label，每个类别的样本数：count，每个类别在重排数组中的起始位置：start，重排后的索引数组：perm（每个元素的值代表其在原始数组中的索引）
        train k*(k-1)/2 models
            新建1个训练数据子集sub_prob，并使用两个类别的训练数据进行填充
            svm_train_one //根据svm_type的不同，使用不同的方式进行单次模型训练
                solve_c_svc //针对C-SVC这一类型进行模型训练
                    新建1个Solver类对象s
                    s.Solve //使用SMO算法求解对偶问题（二次优化问题）
                        初始化拉格朗日乘子状态向量（是否在边界上）
                        初始化需要参与迭代优化计算的拉格朗日乘子集合
                        初始化梯度G，以及为了重建梯度时候节省计算开销而维护的中间变量G_bar
                        迭代优化
                            do_shrinking（每间隔若干次迭代进行一次shrinking）
                                找出m(a)和M(a)
                                reconstruct_gradient（如果满足停止条件，进行梯度重建）
                                    因为有时候shrinking策略太过aggressive，所以当对shrinking之后的部分变量的优化问题迭代优化到第一次满足停止条件时，便可以对梯度进行重建
                                    接下来的shrinking过程便可以建立在更精确的梯度值上
                                be_shrunk
                                    判断该alpha是否被shrinking（不再参与后续迭代优化）
                                swap_index
                                    交换两个变量的位置，从而使得参与迭代优化的变量（即没有被shrinking的变量）始终保持在变量数组的最前面的连续位置上
                            select_working_set（选择工作集）
                            对工作集的alpha进行更新
                            更新梯度G，拉格朗日乘子状态向量，及中间变量G_bar
                            计算b
                        填充alpha数组和SolutionInfo对象si并返回
                    返回alpha数组和SolutionInfo对象si
                输出decision_function对象（包含alpha数组和b）
            修改nonzero数组，将alpha大于0的对应位置改为true
        填充svm_model对象model（包含nr_class，label数组，b数组，probA&probB数组，nSV数组，l，SV二维数组，sv_indices数组,sv_coef二维数组）并返回 //sv_coef二维数组内元素的放置方式很特别
svm_save_model
    保存模型到制定文件中

Prediction:

svm_predict
    svm_predict_values
        Kernel.k_function //计算预测样本与Support Vectors的Kernel值
        用k(k-1)/2个分类器对预测样本进行预测，得出k(k-1)/2个预测类别
        使用投票策略，选择预测数最多的那个类别作为最终的预测类别
        返回预测类别

2. 各参数文件

 public class svm_node implements java.io.Serializable
 {
     public int index;
     public double value;
 }

用于存储单个向量中的单个特征。index是该特征的索引，value是该特征的值。这样设计的好处是，可以节省存储空间，提高计算速度。

 public class svm_problem implements java.io.Serializable
 {
     public int l;
     public double[] y;
     public svm_node[][] x;
 }

用于存储本次运算的所有样本（数据集），及其所属类别。

 public class svm_parameter implements Cloneable,java.io.Serializable
 {
     /* svm_type */
     public static final int C_SVC = 0;
     public static final int NU_SVC = 1;
     public static final int ONE_CLASS = 2;
     public static final int EPSILON_SVR = 3;
     public static final int NU_SVR = 4;

     /* kernel_type */
     public static final int LINEAR = 0;
     public static final int POLY = 1;
     public static final int RBF = 2;
     public static final int SIGMOID = 3;
     public static final int PRECOMPUTED = 4;

     public int svm_type;
     public int kernel_type;
     public int degree;    // for poly
     public double gamma;    // for poly/rbf/sigmoid
     public double coef0;    // for poly/sigmoid

     // these are for training only
     public double cache_size; // in MB
     public double eps;    // stopping criteria
     public double C;    // for C_SVC, EPSILON_SVR and NU_SVR
     public int nr_weight;        // for C_SVC
     public int[] weight_label;    // for C_SVC
     public double[] weight;        // for C_SVC
     public double nu;    // for NU_SVC, ONE_CLASS, and NU_SVR
     public double p;    // for EPSILON_SVR
     public int shrinking;    // use the shrinking heuristics
     public int probability; // do probability estimates

     public Object clone()
     {
         try
         {
             return super.clone();
         } catch (CloneNotSupportedException e)
         {
             return null;
         }
     }

 }

用于存储模型训练所需设置的参数。

 public class svm_model implements java.io.Serializable
 {
     public svm_parameter param;    // parameter
     public int nr_class;        // number of classes, = 2 in regression/one class svm
     public int l;            // total #SV
     public svm_node[][] SV;    // SVs (SV[l])
     public double[][] sv_coef;    // coefficients for SVs in decision functions (sv_coef[k-1][l])
     public double[] rho;        // constants in decision functions (rho[k*(k-1)/2])
     public double[] probA;         // pariwise probability information
     public double[] probB;
     public int[] sv_indices;       // sv_indices[0,...,nSV-1] are values in [1,...,num_traning_data] to indicate SVs in the training set

     // for classification only

     public int[] label;        // label of each class (label[k])
     public int[] nSV;        // number of SVs for each class (nSV[k])
     // nSV[0] + nSV[1] + ... + nSV[k-1] = l
 };

用于存储训练得到的模型，当然原来的训练参数也必须保留。

3. Cache类

Cache类主要负责运算所涉及的内存的管理，包括申请和释放等。

     private final int l;
     private long size;
     private final class head_t
     {
         head_t prev, next;    // a cicular list
         float[] data;
         int len;        // data[0,len) is cached in this entry
     }
     private final head_t[] head;
     private head_t lru_head;

类成员变量。包括：

l：样本总数。

size：指定的全部内存总量。

head_t：单块申请到的内存用class head_t来记录所申请内存，并记录长度。而且通过双向的指针，形成链表，增加寻址的速度。记录所有申请到的内存，一方面便于释放内存，另外方便在内存不够时适当释放一部分已经申请到的内存。

head：类似于变量指针，该指针用来记录程序所申请的内存。

lru_head：双向链表的头。

     Cache(int l_, long size_)
     {
         l = l_;
         size = size_;
         head = new head_t[l];
         for(int i=0;i<l;i++) head[i] = new head_t();
         size /= 4;
         size -= l * (16/4);    // sizeof(head_t) == 16
         size = Math.max(size, 2* (long) l);  // cache must be large enough for two columns
         lru_head = new head_t();
         lru_head.next = lru_head.prev = lru_head;
     }

构造函数。该函数根据样本数L，申请L 个head_t 的空间。Lru_head 因为尚没有head_t 中申请到内存，故双向链表指向自己。至于size 的处理，先将原来的byte 数目转化为float 的数目，然后扣除L 个head_t 的内存数目。

     private void lru_delete(head_t h)
     {
         // delete from current location
         h.prev.next = h.next;
         h.next.prev = h.prev;
     }

从双向链表中删除某个元素的链接，不删除、不释放该元素所涉及的内存。一般是删除当前所指向的元素。

     private void lru_insert(head_t h)
     {
         // insert to last position
         h.next = lru_head;
         h.prev = lru_head.prev;
         h.prev.next = h;
         h.next.prev = h;
     }

在链表后面插入一个新的节点。

     // request data [0,len)
     // return some position p where [p,len) need to be filled
     // (p >= len if nothing needs to be filled)
     // java: simulate pointer using single-element array
     int get_data(int index, float[][] data, int len)
     {
         head_t h = head[index];
         if(h.len > 0) lru_delete(h);
         int more = len - h.len;

         if(more > 0)
         {
             // free old space
             while(size < more)
             {
                 head_t old = lru_head.next;
                 lru_delete(old);
                 size += old.len;
                 old.data = null;
                 old.len = 0;
             }

             // allocate new space
             float[] new_data = new float[len];
             if(h.data != null) System.arraycopy(h.data,0,new_data,0,h.len);
             h.data = new_data;
             size -= more;
             do {int tmp=h.len; h.len=len; len=tmp;} while(false);
         }

         lru_insert(h);
         data[0] = h.data;
         return len;
     }

该函数保证head_t[index]中至少有len 个float 的内存，并且将可以使用的内存块的指针放在 data 指针中。返回值为申请到的内存。函数首先将head_t[index]从链表中断开,如果head_t[index]原来没有分配内存，则跳过断开这步。计算当前head_t[index]已经申请到的内存，如果不够，释放部分内存，等内存足够后，重新分配内存。重新使head_t[index]进入双向链表。返回值不为申请到的内存的长度，为head_t[index]原来的数据长度h.len。

调用该函数后，程序会计算的值，并将其填入 data 所指向的内存区域，如果下次index 不变，正常情况下，不用重新计算该区域的值。若index 不变，则get_data()返回值len 与本次传入的len 一致，从get_Q( )中可以看到，程序不会重新计算。从而提高运算速度。

     void swap_index(int i, int j)
     {
         if(i==j) return;

         if(head[i].len > 0) lru_delete(head[i]);
         if(head[j].len > 0) lru_delete(head[j]);
         do {float[] tmp=head[i].data; head[i].data=head[j].data; head[j].data=tmp;} while(false);
         do {int tmp=head[i].len; head[i].len=head[j].len; head[j].len=tmp;} while(false);
         if(head[i].len > 0) lru_insert(head[i]);
         if(head[j].len > 0) lru_insert(head[j]);

         if(i>j) do {int tmp=i; i=j; j=tmp;} while(false);
         for(head_t h = lru_head.next; h!=lru_head; h=h.next)
         {
             if(h.len > i)
             {
                 if(h.len > j)
                     do {float tmp=h.data[i]; h.data[i]=h.data[j]; h.data[j]=tmp;} while(false);
                 else
                 {
                     // give up
                     lru_delete(h);
                     size += h.len;
                     h.data = null;
                     h.len = 0;
                 }
             }
         }
     }

交换head_t[i] 和head_t[j]的内容，先从双向链表中断开，交换后重新进入双向链表中。然后对于每个head_t[index]中的值，交换其第 i 位和第 j 位的值。这两步是为了在Kernel 矩阵中在两个维度上都进行一次交换。

4. Kernel类

Kernel类是用来进行计算Kernel evaluation矩阵的。

 //
 // Kernel evaluation
 //
 // the static method k_function is for doing single kernel evaluation
 // the constructor of Kernel prepares to calculate the l*l kernel matrix
 // the member function get_Q is for getting one column from the Q Matrix
 //
 abstract class QMatrix {
     abstract float[] get_Q(int column, int len);
     abstract double[] get_QD();
     abstract void swap_index(int i, int j);
 };

Kernel的父类，抽象类。

 abstract class Kernel extends QMatrix {
     private svm_node[][] x;
     private final double[] x_square;

     // svm_parameter
     private final int kernel_type;
     private final int degree;
     private final double gamma;
     private final double coef0;

     abstract float[] get_Q(int column, int len);
     abstract double[] get_QD();

Kernel类的成员变量。

     Kernel(int l, svm_node[][] x_, svm_parameter param)
     {
         this.kernel_type = param.kernel_type;
         this.degree = param.degree;
         this.gamma = param.gamma;
         this.coef0 = param.coef0;

         x = (svm_node[][])x_.clone();

         if(kernel_type == svm_parameter.RBF)
         {
             x_square = new double[l];
             for(int i=0;i<l;i++)
                 x_square[i] = dot(x[i],x[i]);
         }
         else x_square = null;
     }

构造函数。初始化类中的部分常量、指定核函数、克隆样本数据（每次数据传入时通过克隆函数来实现，完全重新分配内存）。如果使用RBF 核函数，则计算x_sqare[i]。

     double kernel_function(int i, int j)
     {
         switch(kernel_type)
         {
             case svm_parameter.LINEAR:
                 return dot(x[i],x[j]);
             case svm_parameter.POLY:
                 return powi(gamma*dot(x[i],x[j])+coef0,degree);
             case svm_parameter.RBF:
                 return Math.exp(-gamma*(x_square[i]+x_square[j]-2*dot(x[i],x[j])));
             case svm_parameter.SIGMOID:
                 return Math.tanh(gamma*dot(x[i],x[j])+coef0);
             case svm_parameter.PRECOMPUTED:
                 return x[i][(int)(x[j][0].value)].value;
             default:
                 return 0;    // java
         }
     }

对Kernel类的对象中包含的任意2个样本求kernel evaluation。

     static double k_function(svm_node[] x, svm_node[] y,
                              svm_parameter param)
     {
         switch(param.kernel_type)
         {
             case svm_parameter.LINEAR:
                 return dot(x,y);
             case svm_parameter.POLY:
                 return powi(param.gamma*dot(x,y)+param.coef0,param.degree);
             case svm_parameter.RBF:
             {
                 double sum = 0;
                 int xlen = x.length;
                 int ylen = y.length;
                 int i = 0;
                 int j = 0;
                 while(i < xlen && j < ylen)
                 {
                     if(x[i].index == y[j].index)
                     {
                         double d = x[i++].value - y[j++].value;
                         sum += d*d;
                     }
                     else if(x[i].index > y[j].index)
                     {
                         sum += y[j].value * y[j].value;
                         ++j;
                     }
                     else
                     {
                         sum += x[i].value * x[i].value;
                         ++i;
                     }
                 }

                 while(i < xlen)
                 {
                     sum += x[i].value * x[i].value;
                     ++i;
                 }

                 while(j < ylen)
                 {
                     sum += y[j].value * y[j].value;
                     ++j;
                 }

                 return Math.exp(-param.gamma*sum);
             }
             case svm_parameter.SIGMOID:
                 return Math.tanh(param.gamma*dot(x,y)+param.coef0);
             case svm_parameter.PRECOMPUTED:
                 return    x[(int)(y[0].value)].value;
             default:
                 return 0;    // java
         }
     }

静态方法，对参数传入的任意2个样本求kernel evaluation。主要应用在predict过程中。

 //
 // Q matrices for various formulations
 //
 class SVC_Q extends Kernel
 {
     private final byte[] y;
     private final Cache cache;
     private final double[] QD;

     SVC_Q(svm_problem prob, svm_parameter param, byte[] y_)
     {
         super(prob.l, prob.x, param);
         y = (byte[])y_.clone();
         cache = new Cache(prob.l,(long)(param.cache_size*(1<<20)));
         QD = new double[prob.l];
         for(int i=0;i<prob.l;i++)
             QD[i] = kernel_function(i,i);
     }

     float[] get_Q(int i, int len)
     {
         float[][] data = new float[1][];
         int start, j;
         if((start = cache.get_data(i,data,len)) < len)
         {
             for(j=start;j<len;j++)
                 data[0][j] = (float)(y[i]*y[j]*kernel_function(i,j));
         }
         return data[0];
     }

     double[] get_QD()
     {
         return QD;
     }

     void swap_index(int i, int j)
     {
         cache.swap_index(i,j);
         super.swap_index(i,j);
         do {byte tmp=y[i]; y[i]=y[j]; y[j]=tmp;} while(false);
         do {double tmp=QD[i]; QD[i]=QD[j]; QD[j]=tmp;} while(false);
     }
 }

Kernel类的子类，用于对C-SVC进行定制的Kernel类。其中构造函数中会调用父类Kernel类的构造函数，并且初始化自身独有的成员变量。

在get_Q函数中，调用了Cache类的get_data函数。想要得到第 i 个变量与其它 len 个变量的Kernel函数值。但是如果取出的缓存中没有全部的值，只有部分的值的话，就需要重新计算一下剩下的那部分的Kernel值，这部分新计算的值会保存到缓存中去。只要不删除掉，以后可以继续使用，不用再重复计算了。

5. Solver类

LibSVM中的Solver类主要是SVM中SMO算法求解拉格朗日乘子的实现。SMO算法的原理可以参考之前的一篇博客：http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6444516.html。

 // An SMO algorithm in Fan et al., JMLR 6(2005), p. 1889--1918
 // Solves:
 //
 //    min 0.5(\alpha^T Q \alpha) + p^T \alpha
 //
 //        y^T \alpha = \delta
 //        y_i = +1 or -1
 //        0 <= alpha_i <= Cp for y_i = 1
 //        0 <= alpha_i <= Cn for y_i = -1
 //
 // Given:
 //
 //    Q, p, y, Cp, Cn, and an initial feasible point \alpha
 //    l is the size of vectors and matrices
 //    eps is the stopping tolerance
 //
 // solution will be put in \alpha, objective value will be put in obj
 //
 class Solver {

5.1 Solver类的成员变量

     int active_size;
     byte[] y;
     double[] G;        // gradient of objective function
     static final byte LOWER_BOUND = 0;
     static final byte UPPER_BOUND = 1;
     static final byte FREE = 2;
     byte[] alpha_status;    // LOWER_BOUND, UPPER_BOUND, FREE
     double[] alpha;
     QMatrix Q;
     double[] QD;
     double eps;
     double Cp,Cn;
     double[] p;
     int[] active_set;
     double[] G_bar;        // gradient, if we treat free variables as 0
     int l;
     boolean unshrink;    // XXX

     static final double INF = java.lang.Double.POSITIVE_INFINITY;

Solver类的成员变量。包括：

active_size：计算时实际参加运算的样本数目，经过shrinking处理后，该数目会小于全部样本总数。

y：样本所属类别，+1/-1。

G：梯度，。

alpha_status：拉格朗日乘子的状态，分别是，代表内部点（非SV，LOWER_BOUND），错分点（BSV，UPPER_BOUND），和支持向量（SV，FREE）。

alpha：拉格朗日乘子。

Q：核函数矩阵。

QD：核函数矩阵中的对角线部分。

eps：误差极限。

Cp，Cn：正负样本各自的惩罚系数。

p：目标函数中的系数。

active_set：计算时实际参加运算的样本索引。

G_bar：在重建梯度时的中间变量，可以降低重建的计算开销。

l：样本数目。

5.2 Solver类的简单辅助成员函数

     double get_C(int i)
     {
         return (y[i] > 0)? Cp : Cn;
     }

double get_c(int i)：返回对应样本的C值（惩罚系数）。这里对正负样本设置了不同的惩罚系数Cp，Cn。

     void update_alpha_status(int i)
     {
         if(alpha[i] >= get_C(i))
             alpha_status[i] = UPPER_BOUND;
         else if(alpha[i] <= 0)
             alpha_status[i] = LOWER_BOUND;
         else alpha_status[i] = FREE;
     }

void update_alpha_status(int i)：更新拉格朗日乘子的状态。

     boolean is_upper_bound(int i) { return alpha_status[i] == UPPER_BOUND; }
     boolean is_lower_bound(int i) { return alpha_status[i] == LOWER_BOUND; }
     boolean is_free(int i) {  return alpha_status[i] == FREE; }

boolean is_upper_bound(int i)，boolean is_lower_bound(int i)，boolean is_free(int i)：返回拉格朗日是否在界上。

     // java: information about solution except alpha,
     // because we cannot return multiple values otherwise...
     static class SolutionInfo {
         double obj;
         double rho;
         double upper_bound_p;
         double upper_bound_n;
         double r;    // for Solver_NU
     }

static class Solutioninfo：SMO算法求得的解（除了alpha）。

     void swap_index(int i, int j)
     {
         Q.swap_index(i,j);
         do {byte tmp=y[i]; y[i]=y[j]; y[j]=tmp;} while(false);
         do {double tmp=G[i]; G[i]=G[j]; G[j]=tmp;} while(false);
         do {byte tmp=alpha_status[i]; alpha_status[i]=alpha_status[j]; alpha_status[j]=tmp;} while(false);
         do {double tmp=alpha[i]; alpha[i]=alpha[j]; alpha[j]=tmp;} while(false);
         do {double tmp=p[i]; p[i]=p[j]; p[j]=tmp;} while(false);
         do {int tmp=active_set[i]; active_set[i]=active_set[j]; active_set[j]=tmp;} while(false);
         do {double tmp=G_bar[i]; G_bar[i]=G_bar[j]; G_bar[j]=tmp;} while(false);
     }

void swap_index(int i, int j)：完全交换样本 i 和样本 j 的内容，包括申请的内存的地址。

5.3 Solving the Quadratic Problems

我们可以用一个通用的表达式来表示SMO算法要解决的二次优化问题：

对于这个二次优化问题，最困难的地方在于Q是一个很大的稠密矩阵，难以存储，所以需要采用分解的方式解决，SMO算法就是采用每次选取拉格朗日乘子中的2个来更新，直到收敛到最优解。

5.4 Stopping Criteria

假设存在向量是（11）式的解，则必然存在实数和两个非负向量使得下式成立：

其中，是目标函数的梯度。

上面的条件可以被重写为：

进一步，存在b使得

其中，

则目标函数存在最优解的条件是：

而实际实现过程中，优化迭代的停止条件为：

其中，epsilon是误差极限，tolerance。

5.5 Working Set Selection

     // return 1 if already optimal, return 0 otherwise
     int select_working_set(int[] working_set)
     {
         // return i,j such that
         // i: maximizes -y_i * grad(f)_i, i in I_up(\alpha)
         // j: mimimizes the decrease of obj value
         //    (if quadratic coefficeint <= 0, replace it with tau)
         //    -y_j*grad(f)_j < -y_i*grad(f)_i, j in I_low(\alpha)

         double Gmax = -INF;
         double Gmax2 = -INF;
         int Gmax_idx = -1;
         int Gmin_idx = -1;
         double obj_diff_min = INF;

         for(int t=0;t<active_size;t++)
             if(y[t]==+1)
             {
                 if(!is_upper_bound(t))
                     if(-G[t] >= Gmax)
                     {
                         Gmax = -G[t];
                         Gmax_idx = t;
                     }
             }
             else
             {
                 if(!is_lower_bound(t))
                     if(G[t] >= Gmax)
                     {
                         Gmax = G[t];
                         Gmax_idx = t;
                     }
             }

         int i = Gmax_idx;
         float[] Q_i = null;
         if(i != -1) // null Q_i not accessed: Gmax=-INF if i=-1
             Q_i = Q.get_Q(i,active_size);

         for(int j=0;j<active_size;j++)
         {
             if(y[j]==+1)
             {
                 if (!is_lower_bound(j))
                 {
                     double grad_diff=Gmax+G[j];
                     if (G[j] >= Gmax2)
                         Gmax2 = G[j];
                     if (grad_diff > 0)
                     {
                         double obj_diff;
                         double quad_coef = QD[i]+QD[j]-2.0*y[i]*Q_i[j];
                         if (quad_coef > 0)
                             obj_diff = -(grad_diff*grad_diff)/quad_coef;
                         else
                             obj_diff = -(grad_diff*grad_diff)/1e-12;

                         if (obj_diff <= obj_diff_min)
                         {
                             Gmin_idx=j;
                             obj_diff_min = obj_diff;
                         }
                     }
                 }
             }
             else
             {
                 if (!is_upper_bound(j))
                 {
                     double grad_diff= Gmax-G[j];
                     if (-G[j] >= Gmax2)
                         Gmax2 = -G[j];
                     if (grad_diff > 0)
                     {
                         double obj_diff;
                         double quad_coef = QD[i]+QD[j]+2.0*y[i]*Q_i[j];
                         if (quad_coef > 0)
                             obj_diff = -(grad_diff*grad_diff)/quad_coef;
                         else
                             obj_diff = -(grad_diff*grad_diff)/1e-12;

                         if (obj_diff <= obj_diff_min)
                         {
                             Gmin_idx=j;
                             obj_diff_min = obj_diff;
                         }
                     }
                 }
             }
         }

         if(Gmax+Gmax2 < eps || Gmin_idx == -1)
             return 1;

         working_set[0] = Gmax_idx;
         working_set[1] = Gmin_idx;
         return 0;
     }

其中，第1个 for 循环是在确定工作集的第1个变量 i 。在确定了 i 之后，第2个 for 循环即是为了确定第2个变量 j 的选取。当两者都确定了之后，通过看停止条件来确定是否当前变量已经处在最优解上了，如果是则返回1，如果不是对working_set数组赋值并返回0。

5.6 Maintaining the Gradient

我们可以看到，在每次迭代中，主要操作是找到（（12）式目标函数中会用到），以及（在working set selection和stopping condition中会用到）。这两个主要操作可以合起来一起看待，因为：

在第k次迭代中，我们已经得到了，于是便可以得到，用来计算（12）式的目标函数。当第k次迭代的目标函数得到解决后，我们又可以得到 k+1 次的。所以，LibSVM在整个迭代优化过程中都一直维护着梯度数组。

5.7 The Calculation of b

令

（1）当存在，有。为了数值的稳定性，做一个平均处理，

（2）当，有

则取中值。

     double calculate_rho()
     {
         double r;
         int nr_free = 0;
         double ub = INF, lb = -INF, sum_free = 0;
         for(int i=0;i<active_size;i++)
         {
             double yG = y[i]*G[i];

             if(is_lower_bound(i))
             {
                 if(y[i] > 0)
                     ub = Math.min(ub,yG);
                 else
                     lb = Math.max(lb,yG);
             }
             else if(is_upper_bound(i))
             {
                 if(y[i] < 0)
                     ub = Math.min(ub,yG);
                 else
                     lb = Math.max(lb,yG);
             }
             else
             {
                 ++nr_free;
                 sum_free += yG;
             }
         }

         if(nr_free>0)
             r = sum_free/nr_free;
         else
             r = (ub+lb)/2;

         return r;
     }

5.8 Shrinking

对于（11）式目标函数的最优解中会包含一些边界值，这些值在迭代优化的过程中可能就已经成为了边界值了，之后便不再变化。为了节省训练时间，使用shrinking方法去除这些个边界值，从而可以进一步解决一个更小的子优化问题。下面的这2个定理显示，在迭代的最后，只有一小部分变量还在改变。

使用A来表示 k 轮迭代中没有被shrinking的元素集合，从而（11）式目标函数便可以缩减为一个子优化问题：

其中，是被shrinking的集合。在LibSVM中，通过元素的重排使得始终有。

当（28）式解决了之后，我们会发现可能会有部分的元素被错误地shrinking了。如果有这种情况发生，那么需要对（11）式原优化问题进行重新求解最优值，而重新求解的起始点即是，其中是（28）式子问题的最优解，是被shrinking的变量。

shrinking的步骤如下：

     private boolean be_shrunk(int i, double Gmax1, double Gmax2)
     {
         if(is_upper_bound(i))
         {
             if(y[i]==+1)
                 return(-G[i] > Gmax1);
             else
                 return(-G[i] > Gmax2);
         }
         else if(is_lower_bound(i))
         {
             if(y[i]==+1)
                 return(G[i] > Gmax2);
             else
                 return(G[i] > Gmax1);
         }
         else
             return(false);
     }

通过上述shrinking条件来判断第 i 个变量是否被shrinking。

     void do_shrinking()
     {
         int i;
         double Gmax1 = -INF;        // max { -y_i * grad(f)_i | i in I_up(\alpha) }
         double Gmax2 = -INF;        // max { y_i * grad(f)_i | i in I_low(\alpha) }

         // find maximal violating pair first
         for(i=0;i<active_size;i++)
         {
             if(y[i]==+1)
             {
                 if(!is_upper_bound(i))
                 {
                     if(-G[i] >= Gmax1)
                         Gmax1 = -G[i];
                 }
                 if(!is_lower_bound(i))
                 {
                     if(G[i] >= Gmax2)
                         Gmax2 = G[i];
                 }
             }
             else
             {
                 if(!is_upper_bound(i))
                 {
                     if(-G[i] >= Gmax2)
                         Gmax2 = -G[i];
                 }
                 if(!is_lower_bound(i))
                 {
                     if(G[i] >= Gmax1)
                         Gmax1 = G[i];
                 }
             }
         }

         if(unshrink == false && Gmax1 + Gmax2 <= eps*10)
         {
             unshrink = true;
             reconstruct_gradient();
             active_size = l;
         }

         for(i=0;i<active_size;i++)
             if (be_shrunk(i, Gmax1, Gmax2))
             {
                 active_size--;
                 while (active_size > i)
                 {
                     if (!be_shrunk(active_size, Gmax1, Gmax2))
                     {
                         swap_index(i,active_size);
                         break;
                     }
                     active_size--;
                 }
             }
     }

第1个 for 循环是为了找到这2个变量。

因为有时候shrinking策略太过aggressive，所以当对shrinking之后的部分变量的优化问题迭代优化到第一次满足条件时，便可以对梯度进行重建。于是，接下来的shrinking过程便可以建立在更精确的梯度值上。

最后的 for 循环是为了交换两个变量的位置，从而使得参与迭代优化的变量（即没有被shrinking的变量）始终保持在变量数组的最前面的连续位置上。进一步，为了减少交换操作的次数，从而优化计算开销，可以使用以下的trick：从左向右遍历找出需要被shrinking的变量位置 t1，从右向左遍历找出需要参与迭代优化计算的变量位置 t2，交换 t1 和 t2 的位置，然后继续遍历，直到两个遍历的指针相遇。

5.9 Reconstructing the Gradient

一旦（31）式和（32）式满足了，便需要重建梯度向量。因为在优化（28）子问题的时候，一直都在内存中的，所以在重建梯度时，我们只需要计算即可。为了减少计算的开销，在迭代计算时，我们可以维护着另一个向量：

而对于任意不在 A 集合中的变量 i 而言，有：

而对于上式的计算，包含了两层循环。是先对 i 循环还是先对 j 进行循环，意味着截然不同的Kernel evaluation次数。具体证明如下：

所以，我们具体选择method 1 还是method 2，是要看情况讨论的：

     void reconstruct_gradient()
     {
         // reconstruct inactive elements of G from G_bar and free variables

         if(active_size == l) return;

         int i,j;
         int nr_free = 0;

         for(j=active_size;j<l;j++)
             G[j] = G_bar[j] + p[j];

         for(j=0;j<active_size;j++)
             if(is_free(j))
                 nr_free++;

         if(2*nr_free < active_size)
             svm.info("\nWARNING: using -h 0 may be faster\n");

         if (nr_free*l > 2*active_size*(l-active_size))
         {
             for(i=active_size;i<l;i++)
             {
                 float[] Q_i = Q.get_Q(i,active_size);
                 for(j=0;j<active_size;j++)
                     if(is_free(j))
                         G[i] += alpha[j] * Q_i[j];
             }
         }
         else
         {
             for(i=0;i<active_size;i++)
                 if(is_free(i))
                 {
                     float[] Q_i = Q.get_Q(i,l);
                     double alpha_i = alpha[i];
                     for(j=active_size;j<l;j++)
                         G[j] += alpha_i * Q_i[j];
                 }
         }
     }

5.10 迭代优化整体框架

     void Solve(int l, QMatrix Q, double[] p_, byte[] y_,
                double[] alpha_, double Cp, double Cn, double eps, SolutionInfo si, int shrinking)

Solver类中最重要的迭代优化函数 Solve 的接口格式。由于这个函数行数太多，下面分段进行剖析。

         this.l = l;
         this.Q = Q;
         QD = Q.get_QD();
         p = (double[])p_.clone();
         y = (byte[])y_.clone();
         alpha = (double[])alpha_.clone();
         this.Cp = Cp;
         this.Cn = Cn;
         this.eps = eps;
         this.unshrink = false;

对Solver类的一些成员变量进行初始化。

         // initialize alpha_status
         {
             alpha_status = new byte[l];
             for(int i=0;i<l;i++)
                 update_alpha_status(i);
         }

初始化拉格朗日乘子状态向量值。

         // initialize active set (for shrinking)
         {
             active_set = new int[l];
             for(int i=0;i<l;i++)
                 active_set[i] = i;
             active_size = l;
         }

初始化需要参与迭代优化计算的拉格朗日乘子集合。

         // initialize gradient
         {
             G = new double[l];
             G_bar = new double[l];
             int i;
             for(i=0;i<l;i++)
             {
                 G[i] = p[i];
                 G_bar[i] = 0;
             }
             for(i=0;i<l;i++)
                 if(!is_lower_bound(i))
                 {
                     float[] Q_i = Q.get_Q(i,l);
                     double alpha_i = alpha[i];
                     int j;
                     for(j=0;j<l;j++)
                         G[j] += alpha_i*Q_i[j];
                     if(is_upper_bound(i))
                         for(j=0;j<l;j++)
                             G_bar[j] += get_C(i) * Q_i[j];
                 }
         }

初始化梯度G，以及为了重建梯度时候节省计算开销而维护的中间变量G_bar。

         // optimization step

         int iter = 0;
         int max_iter = Math.max(10000000, l>Integer.MAX_VALUE/100 ? Integer.MAX_VALUE : 100*l);
         int counter = Math.min(l,1000)+1;
         int[] working_set = new int[2];

         while(iter < max_iter)
         {
             // show progress and do shrinking

             if(--counter == 0)
             {
                 counter = Math.min(l,1000);
                 if(shrinking!=0) do_shrinking();
                 svm.info(".");
             }

             if(select_working_set(working_set)!=0)
             {
                 // reconstruct the whole gradient
                 reconstruct_gradient();
                 // reset active set size and check
                 active_size = l;
                 svm.info("*");
                 if(select_working_set(working_set)!=0)
                     break;
                 else
                     counter = 1;    // do shrinking next iteration
             }

             int i = working_set[0];
             int j = working_set[1];

             ++iter;

             // update alpha[i] and alpha[j], handle bounds carefully

             float[] Q_i = Q.get_Q(i,active_size);
             float[] Q_j = Q.get_Q(j,active_size);

             double C_i = get_C(i);
             double C_j = get_C(j);

             double old_alpha_i = alpha[i];
             double old_alpha_j = alpha[j];

             if(y[i]!=y[j])
             {
                 double quad_coef = QD[i]+QD[j]+2*Q_i[j];
                 if (quad_coef <= 0)
                     quad_coef = 1e-12;
                 double delta = (-G[i]-G[j])/quad_coef;
                 double diff = alpha[i] - alpha[j];
                 alpha[i] += delta;
                 alpha[j] += delta;

                 if(diff > 0)
                 {
                     if(alpha[j] < 0)
                     {
                         alpha[j] = 0;
                         alpha[i] = diff;
                     }
                 }
                 else
                 {
                     if(alpha[i] < 0)
                     {
                         alpha[i] = 0;
                         alpha[j] = -diff;
                     }
                 }
                 if(diff > C_i - C_j)
                 {
                     if(alpha[i] > C_i)
                     {
                         alpha[i] = C_i;
                         alpha[j] = C_i - diff;
                     }
                 }
                 else
                 {
                     if(alpha[j] > C_j)
                     {
                         alpha[j] = C_j;
                         alpha[i] = C_j + diff;
                     }
                 }
             }
             else
             {
                 double quad_coef = QD[i]+QD[j]-2*Q_i[j];
                 if (quad_coef <= 0)
                     quad_coef = 1e-12;
                 double delta = (G[i]-G[j])/quad_coef;
                 double sum = alpha[i] + alpha[j];
                 alpha[i] -= delta;
                 alpha[j] += delta;

                 if(sum > C_i)
                 {
                     if(alpha[i] > C_i)
                     {
                         alpha[i] = C_i;
                         alpha[j] = sum - C_i;
                     }
                 }
                 else
                 {
                     if(alpha[j] < 0)
                     {
                         alpha[j] = 0;
                         alpha[i] = sum;
                     }
                 }
                 if(sum > C_j)
                 {
                     if(alpha[j] > C_j)
                     {
                         alpha[j] = C_j;
                         alpha[i] = sum - C_j;
                     }
                 }
                 else
                 {
                     if(alpha[i] < 0)
                     {
                         alpha[i] = 0;
                         alpha[j] = sum;
                     }
                 }
             }

             // update G

             double delta_alpha_i = alpha[i] - old_alpha_i;
             double delta_alpha_j = alpha[j] - old_alpha_j;

             for(int k=0;k<active_size;k++)
             {
                 G[k] += Q_i[k]*delta_alpha_i + Q_j[k]*delta_alpha_j;
             }

             // update alpha_status and G_bar

             {
                 boolean ui = is_upper_bound(i);
                 boolean uj = is_upper_bound(j);
                 update_alpha_status(i);
                 update_alpha_status(j);
                 int k;
                 if(ui != is_upper_bound(i))
                 {
                     Q_i = Q.get_Q(i,l);
                     if(ui)
                         for(k=0;k<l;k++)
                             G_bar[k] -= C_i * Q_i[k];
                     else
                         for(k=0;k<l;k++)
                             G_bar[k] += C_i * Q_i[k];
                 }

                 if(uj != is_upper_bound(j))
                 {
                     Q_j = Q.get_Q(j,l);
                     if(uj)
                         for(k=0;k<l;k++)
                             G_bar[k] -= C_j * Q_j[k];
                     else
                         for(k=0;k<l;k++)
                             G_bar[k] += C_j * Q_j[k];
                 }
             }

         }

迭代优化最重要的循环部分。每间隔若干次迭代进行一次shrinking，使得部分变量不用参与迭代计算。选择工作集合（包含2个拉格朗日乘子），对工作集合进行更新计算操作。具体的更新原理可见paper：《Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines》。更新完工作集合后，再更新梯度G，拉格朗日乘子的状态向量，以及维护的中间变量G_bar。

         // calculate rho

         si.rho = calculate_rho();

         // calculate objective value
         {
             double v = 0;
             int i;
             for(i=0;i<l;i++)
                 v += alpha[i] * (G[i] + p[i]);

             si.obj = v/2;
         }

         // put back the solution
         {
             for(int i=0;i<l;i++)
                 alpha_[active_set[i]] = alpha[i];
         }

         si.upper_bound_p = Cp;
         si.upper_bound_n = Cn;

         svm.info("\noptimization finished, #iter = "+iter+"\n");

收尾工作。

6. Multi-class classification

LibSVM使用了“one-against-one”的方法实现了多分类。如果有 k 类样本，则需要建立 k(k-1)/2个分类器。

在预测时，用k(k-1)/2个分类器对预测样本进行预测，得出k(k-1)/2个预测类别，使用投票策略，选择预测数最多的那个类别作为最终的预测类别。

7. 参考文献

1. LIBSVM: A Library for Support Vector Machines

2. Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines

3. Working Set Selection Using Second Order Information

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