ACM__最小生成树之prime

今天做了一道题，根本没想到最小生成树，稀里糊涂的浪费了很多时间，复习一下

转载自https://www.cnblogs.com/zhangming-blog/p/5414514.html

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

示例图演示:

下面对算法的图例描述:

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>加入G₀中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

再贴一个模板，转载自https://blog.csdn.net/zwj1452267376/article/details/47603933

最小生成树就是：

在所有数据满足是一棵树的情况下一条将所有节点都连接起来且长度最短的一条路（因为任意两个节点之间有权值

（相连的两点之间权值为一个具体的数，不相连的两个点之间权值为无穷大））

下面介绍通用的求最小生成树的两种算法：

ps：这里用的两种算法都是用邻接矩阵实现适合点稠密型数据或者数据较小的情况：

 <span style="font-size:12px;">/*
 *  数组tree[]用来记录最小生成树的节点
 *  数组lowdis[]记录从起点到其余所有点的距离并不断更新
 *  数组map[][]记录所有数据两点之间的距离
 *  point是所有节点的数目，begin是起点
 *  mindis是最小生成树的长度
 */
 void prime()
 {
     int i,j,min,mindis=,next;
     memset(tree,,sizeof(tree));
     for(i=;i<=point;i++)
     {
         lowdis[i]=map[begin][i];//用lowdis[]数组记录下从起点到剩下所有点的距离
     }
     tree[begin]=;//标记起点（即最小生成树中的点）
     for(i=;i<point;i++)
     {
         min=INF;
         for(j=;j<=point;j++)
         {
             if(!tree[j]&&min>lowdis[j])
             {
                 min=lowdis[j];//求出从当前起点到其余所有点的距离中最短的
                 next=j;
             }
         }
         mindis+=min;//记录下整条最小树的长度
         tree[next]=;
         for(j=;j<=point;j++)
         {
             if(!tree[j]&&lowdis[j]>map[next][j])
             lowdis[j]=map[next][j];//更新lowdis[]数组
         }
     }
     printf("%d\n",mindis);
 }</span>