洛谷P2605 基站选址

神TM毒瘤线段树优化DP......新姿势get。

题意：有n个村庄，在里面选不多于k个建立基站。

建立基站要ci的费用。如果一个村庄方圆si内没有基站，那么又要支出wi的费用。求最小费用。

解：很显然想到DP，f[i][j]表示前i个村庄里面放了j个基站，其中第i个一定选的最小费用。费用只统计不超过i的。

转移就是枚举从p转移，对于p到i的每一个，检查是否需要付钱。

这样是n³k的，只有20分。

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>

 typedef long long LL;
 const int N = ;
 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

 LL d[N], s[N], f[N][], c[N], w[N];
 int n, first[N], last[N];

 inline LL val(int l, int r) {
     LL ans = ;
     for(int i = l + ; i < r; i++) {
         if(l < first[i] && r > last[i]) {
             ans += w[i];
         }
     }
     return ans;
 }

 int main() {
     int k;
     LL ans = ;
     scanf("%d%d", &n, &k);
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &d[i]);
     }
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &c[i]);
     }
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &s[i]);
     }
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &w[i]);
         ans += w[i];
         f[i][] = f[i - ][] + w[i];
     }

     for(int i = ; i <= n; i++) { // prework
         int l = , r = i;
         while(l < r) {
             int mid = (l + r) >> ;
             if(d[mid] >= d[i] - s[i]) {
                 r = mid;
             }
             else {
                 l = mid + ;
             }
         }
         first[i] = r;
         l = i;
         r = n;
         while(l < r) {
             int mid = (l + r + ) >> ;
             if(d[mid] <= d[i] + s[i]) {
                 l = mid;
             }
             else {
                 r = mid - ;
             }
         }
         last[i] = r;
     }

     for(int j = ; j <= k + ; j++) {
         for(int i = ; i <= n + ; i++) {
             // f[i][j] = std::min(f[p][j - 1] + val
             if(j == ) {
                 f[i][j] = c[i] + val(, i);
             }
             else {
                 f[i][j] = INF;
                 for(int p = j - ; p < i; p++) {
                     f[i][j] = std::min(f[i][j], f[p][j - ] + val(p, i) + c[i]);
                 }
             }
         }
         if(j > ) {
             ans = std::min(ans, f[n + ][j]);
         }
     }

     printf("%lld", ans);
     return ;
 }

20分代码

然后我又想到了网络流，发现好像可以搞成最大权闭合子图来做，但是那个k的限制不好处理.....

最后光荣爆0了。

正解是线段树优化DP，但是怎么个优化法呢？

转移方程：f[i][j] = f[p][j - 1] + val(p, i) + c[i]

黑科技就是用线段树维护等式右边......下标就是p。

具体来说，我们当前正在考虑i。

那么f[i][j]就是min(0, i - 1)，直接在线段树上查询即可。

线段树的初始值是f[p][j - 1]，我们要动态的加上val(p, i)

每个点都有一个last，表示在i ~ last这段区间建基站的话能覆盖到它。

设last[v] = i，那么在i及之前的DP值都不会加上w[v]，因为v之前的不会考虑到v，v ~ i的会覆盖到v。

i及之后的，有一部分转移要加上w[v]，就是first[v]之前的部分。

因为first ~ i的转移会覆盖v，而i之后的转移会计算v。所以这些都不用计算v。

此时我们把0 ~ first[v] - 1的区间全部加上w[i]即可。

然后每次循环一个新j的时候把线段树初始化。

细节处理繁多......

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <vector>

 typedef long long LL;
 const int N = ;
 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

 LL d[N], s[N], f[N][], c[N], w[N];
 int n, first[N], last[N], Time;
 std::vector<int> v[N];

 LL small[N << ], tag[N << ];

 inline void pushup(int o) {
     small[o] = std::min(small[o << ], small[o <<  | ]);
     return;
 }

 inline void pushdown(int o) {
     if(tag[o]) {
         int ls = o << ;
         int rs = ls | ;
         tag[ls] += tag[o];
         tag[rs] += tag[o];
         small[ls] += tag[o];
         small[rs] += tag[o];
         tag[o] = ;
     }
     return;
 }

 void add(int L, int R, LL v, int l, int r, int o) {
     if(L <= l && r <= R) {
         tag[o] += v;
         small[o] += v;
         return;
     }
     int mid = (l + r) >> ;
     pushdown(o);
     if(L <= mid) {
         add(L, R,  v, l, mid, o << );
     }
     if(mid < R) {
         add(L, R, v, mid + , r, o <<  | );
     }
     pushup(o);
     return;
 }

 LL ask(int L, int R, int l, int r, int o) {
     if(L <= l && r <= R) {
         return small[o];
     }
     int mid = (l + r) >> ;
     pushdown(o);
     LL ans = INF;
     if(L <= mid) {
         ans = std::min(ans, ask(L, R, l, mid, o << ));
     }
     if(mid < R) {
         ans = std::min(ans, ask(L, R, mid + , r, o <<  | ));
     }
     return ans;
 }

 void clear(int l, int r, int o) {
     tag[o] = ;
     if(l == r) {
         small[o] = f[r - ][Time - ];
         return;
     }
     int mid = (l + r) >> ;
     clear(l, mid, o << );
     clear(mid + , r, o <<  | );
     pushup(o);
     return;
 }

 int main() {
     int k;
     LL ans = ;
     scanf("%d%d", &n, &k);
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &d[i]);
     }
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &c[i]);
     }
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &s[i]);
     }
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%lld", &w[i]);
         ans += w[i];
         f[i][] = f[i - ][] + w[i];
     }

     for(int i = ; i <= n; i++) { // prework
         int l = , r = i;
         while(l < r) {
             int mid = (l + r) >> ;
             if(d[mid] >= d[i] - s[i]) {
                 r = mid;
             }
             else {
                 l = mid + ;
             }
         }
         first[i] = r;
         l = i;
         r = n;
         while(l < r) {
             int mid = (l + r + ) >> ;
             if(d[mid] <= d[i] + s[i]) {
                 l = mid;
             }
             else {
                 r = mid - ;
             }
         }
         last[i] = r;
         v[r].push_back(i);
     }

     for(int i = ; i <= n + ; i++) {
         f[i][] = INF;
     }

     for(int j = ; j <= k + ; j++) {
         Time = j;
         clear(, n + , );
         for(int i = ; i <= n + ; i++) {
             // ask f[i][j]
             if(i >= j) {
                 f[i][j] = ask(, i, , n + , ) + c[i];
             }
             else {
                 f[i][j] = INF;
             }
             // insert
             for(int p = ; p < v[i].size(); p++) {
                 add(, first[v[i][p]], w[v[i][p]], , n + , );
             }
         }
         if(j > ) {
             ans = std::min(ans, f[n + ][j]);
         }
     }

     printf("%lld", ans);
     return ;
 }

AC代码

思考：如果si表示能覆盖方圆si的村庄，又如何？

转移方程写出来，发现就是一个简单的前缀最大值优化。要处理一下前缀和为负的这种情况...