[BZOJ 4555][Tjoi2016&Heoi2016]求和

题意

给定 $n$ , 求下式的值:

$$ f(n)= \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}\times 2^j\times j!$$

题解

这题比较神仙...

那么我们可以思考如何来求一个比较简单的转移式.

首先我们发现, $f(n)$ 表达式中的第一重和式包含了 $f(n-1)$, 那么我们对 $f$ 的值做差分, 于是我们有 $f(n)-f(n-1)=\sum\limits_{i=0}^n\begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}\times 2^j\times j!$ .设 $g(n)=f(n)-f(n-1)$.

而我们知道第二类斯特林数的组合意义是在 $i$ 个物品中选 $j$ 个子集的方案数. 那么后面的 $j!$ 的组合意义相当于让划分的子集带标号, $2^j$ 的组合意义相当于每个子集贡献两种状态.

知道了表达式的组合意义, 我们可以尝试用朴素DP来解它. 我们枚举一下最后一个子集中的元素个数为 $i$ (因为子集带标号, 我们相当于枚举最后一个), 那么我们就有递推式:

$$g(n)=[n=0]+\sum_{i=1}^n {n\choose i} g(n-i)\times 2$$

最后乘 $2$ 是因为每个集合会贡献两种状态, $[n=0]$ 是边界条件.

观察这个式子, 发现是二项卷积的形式, 我们果断上EGF来解决. 设 $G(x)$ 是 $g(n)$ 的EGF, $H(x)$ 是数列 $\langle 0,2,2,2,\dots \rangle$ 的EGF, 那么我们有:

$$ G(x)=G(x)H(x)+1 $$

注意到 $H(x)$ 代表的数列的第 $0$ 项是 $0$, 因为 $g(n)$ 的递推式中求和下指标是 $1$.

那么我们移项之后就可以开心地得到:

$$ G(x)=\frac 1 {1-H(x)} $$

NTT爆算一发就可以了

代码实现

记得EGF要除以阶乘...出答案的时候还得乘回来...

 #include <bits/stdc++.h>

 const int G=;
 const int DFT=;
 const int IDFT=-;
 const int MAXN=;
 const int MOD=;
 const int INV2=(MOD+)>>;
 const int PHI=MOD-;

 typedef std::vector<int> Poly;

 Poly Sqrt(Poly);
 void Read(Poly&);
 Poly Inverse(Poly);
 Poly Ln(const Poly&);
 Poly Exp(const Poly&);
 void Print(const Poly&);
 void NTT(Poly&,int,int);
 Poly Pow(const Poly&,int);
 Poly Integral(const Poly&);
 Poly Derivative(const Poly&);
 Poly operator*(Poly,Poly);
 Poly operator/(Poly,Poly);
 Poly operator%(Poly,Poly);
 Poly operator+(const Poly&,const Poly&);
 Poly operator-(const Poly&,const Poly&);

 int rev[MAXN];

 int NTTPre(int);
 int Pow(int,int,int);

 int main(){
     int n;
     scanf("%d",&n);
     Poly h(n+),one(,);
     h[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         h[i]=1ll*h[i-]*Pow(i,MOD-,MOD)%MOD;
     Poly g(Inverse(one-h));
     int ans=;
     int fact=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         (ans+=1ll*g[i]*fact%MOD)%=MOD;
         fact=1ll*fact*(i+)%MOD;
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

 void Read(Poly& a){
     for(auto& i:a)
         scanf("%d",&i);
 }

 void Print(const Poly& a){
     for(auto i:a)
         printf("%d ",i);
     puts("");
 }

 Poly Pow(const Poly& a,int k){
     Poly log=Ln(a);
     for(auto& i:log)
         i=1ll*i*k%MOD;
     return Exp(log);
 }

 Poly Sqrt(Poly a){
     int len=a.size();
     if(len==)
         return Poly(,int(sqrt(a[])));
     else{
         Poly b=a;
         b.resize((len+)>>);
         b=Sqrt(b);
         b.resize(len);
         Poly inv=Inverse(b);
         int bln=NTTPre(inv.size()+a.size());
         NTT(a,bln,DFT);
         NTT(inv,bln,DFT);
         for(int i=;i<bln;i++)
             a[i]=1ll*a[i]*INV2%MOD*inv[i]%MOD;
         NTT(a,bln,IDFT);
         for(int i=;i<len;i++)
             b[i]=(1ll*b[i]*INV2%MOD+a[i])%MOD;
         return b;
     }
 }

 Poly Exp(const Poly& a){
     size_t len=;
     Poly ans(,),one(,);
     while(len<(a.size()<<)){
         len<<=;
         Poly b=a;
         b.resize(len);
         ans=ans*(one-Ln(ans)+b);
         ans.resize(len);
     }
     ans.resize(a.size());
     return ans;
 }

 Poly Ln(const Poly& a){
     Poly ans=Integral(Derivative(a)*Inverse(a));
     ans.resize(a.size());
     return ans;
 }

 Poly Integral(const Poly& a){
     int len=a.size();
     Poly ans(len+);
     for(int i=;i<len;i++)
         ans[i]=1ll*a[i-]*Pow(i,MOD-,MOD)%MOD;
     return ans;
 }

 Poly Derivative(const Poly& a){
     int len=a.size();
     Poly ans(len-);
     for(int i=;i<len;i++)
         ans[i-]=1ll*a[i]*i%MOD;
     return ans;
 }

 Poly operator/(Poly a,Poly b){
     int n=a.size()-,m=b.size()-;
     Poly ans();
     if(n>=m){
         std::reverse(a.begin(),a.end());
         std::reverse(b.begin(),b.end());
         b.resize(n-m+);
         ans=Inverse(b)*a;
         ans.resize(n-m+);
         std::reverse(ans.begin(),ans.end());
     }
     return ans;
 }

 Poly operator%(Poly a,Poly b){
     int n=a.size()-,m=b.size()-;
     Poly ans;
     if(n<m)
         ans=a;
     else
         ans=a-(a/b)*b;
     ans.resize(m);
     return ans;
 }

 Poly operator*(Poly a,Poly b){
     int len=a.size()+b.size()-;
     int bln=NTTPre(len);
     NTT(a,bln,DFT);
     NTT(b,bln,DFT);
     for(int i=;i<bln;i++)
         a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
     NTT(a,bln,IDFT);
     a.resize(len);
     return a;
 }

 Poly operator+(const Poly& a,const Poly& b){
     Poly ans(std::max(a.size(),b.size()));
     std::copy(a.begin(),a.end(),ans.begin());
     for(size_t i=;i<b.size();i++)
         ans[i]=(ans[i]+b[i])%MOD;
     return ans;
 }

 Poly operator-(const Poly& a,const Poly& b){
     Poly ans(std::max(a.size(),b.size()));
     std::copy(a.begin(),a.end(),ans.begin());
     for(size_t i=;i<b.size();i++)
         ans[i]=(ans[i]+MOD-b[i])%MOD;
     return ans;
 }

 Poly Inverse(Poly a){
     int len=a.size();
     if(len==)
         return Poly(,Pow(a[],MOD-,MOD));
     else{
         Poly b(a);
         b.resize((len+)>>);
         b=Inverse(b);
         int bln=NTTPre(b.size()*+a.size());
         NTT(a,bln,DFT);
         NTT(b,bln,DFT);
         for(int i=;i<bln;i++)
             b[i]=(2ll*b[i]%MOD-1ll*b[i]*b[i]%MOD*a[i]%MOD+MOD)%MOD;
         NTT(b,bln,IDFT);
         b.resize(len);
         return b;
     }
 }

 void NTT(Poly& a,int len,int opt){
     a.resize(len);
     for(int i=;i<len;i++)
         if(rev[i]>i)
             std::swap(a[i],a[rev[i]]);
     for(int i=;i<len;i<<=){
         int step=i<<;
         int wn=Pow(G,(PHI+opt*PHI/step)%PHI,MOD);
         for(int j=;j<len;j+=step){
             int w=;
             for(int k=;k<i;k++,w=1ll*w*wn%MOD){
                 int x=a[j+k];
                 int y=1ll*a[j+k+i]*w%MOD;
                 a[j+k]=(x+y)%MOD;
                 a[j+k+i]=(x-y+MOD)%MOD;
             }
         }
     }
     if(opt==IDFT){
         int inv=Pow(len,MOD-,MOD);
         for(int i=;i<len;i++)
             a[i]=1ll*a[i]*inv%MOD;
     }
 }

 int NTTPre(int n){
     int bln=,bct=;
     while(bln<n){
         bln<<=;
         ++bct;
     }
     for(int i=;i<bln;i++)
         rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(bct-));
     return bln;
 }

 inline int Pow(int a,int n,int p){
     int ans=;
     while(n>){
         if(n&)
             ans=1ll*a*ans%p;
         a=1ll*a*a%p;
         n>>=;
     }
     return ans;
 }

BZOJ 4555