CodeForces 1110H. Modest Substrings

题目简述：给定$1 \leq l \leq r \leq 10^{800}$，求一个长度为$n \leq 2000$的数字串$s$，其含有最多的【好】子串。一个串$s$是【好】的，如果将其看做数字时无前导零且满足$l \leq s \leq r$。形式化的说，就是求

$$ \arg \max_{s \in \Sigma^n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n [s[i] \neq 0 \land l \leq s[i \dots j] \leq r] , $$

其中$\Sigma = \{0,1,2,\dots, 9\}$。

解：code

Step 1. 用一类特殊的 正规/正则 语言（Regular Language）描述$l \leq x \leq r$

我们选择一类特殊的正规语言，其形如 $ L = d \Sigma^m $，其中$d \in \Sigma^+, m \in \mathbb{N}$。

观察：存在一组不相交的上述特殊的正规语言$L_1, L_2, \dots, L_k$，使得

$$ \bigcup_{i=1}^k L_i = \mathbb{N} \cap [l, r] $$

且$k = O(|\Sigma|(\log l+\log r))$。

这个结论我们不加证明，但给出两个例子以说明。

Example 1. $l = 12, r = 1234$。我们可取：

$$
\begin{aligned}
& 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, \\
& 2\Sigma^1, 3\Sigma^1, \dots, 9\Sigma^1, \\
& 1\Sigma^2, 2\Sigma^2, \dots, 9\Sigma^2, \\
& 10\Sigma^2, 11\Sigma^2, \\
& 120\Sigma^1, 121\Sigma^1, 122\Sigma^1, \\
& 1230, 1231, 1232, 1233, 1234.
\end{aligned}
$$

Example 2. $l = 1234, r = 1456$。我们可取：

$$
\begin{aligned}
& 1234, 1235, 1236, 1237, 1238, 1239, \\
& 124\Sigma^1, 125\Sigma^1, \dots, 129\Sigma^1, \\
& 13\Sigma^2, \\
& 140\Sigma^1, 141\Sigma^1, 142\Sigma^1, 143\Sigma^1, 144\Sigma^1, \\
& 1450, 1451, 1452, 1453, 1454, 1455, 1456.
\end{aligned}
$$

Step 2：构建一组特殊正规语言的 AC自动机（Aho-Corasick  Automaton）

我们可以把$L = d \Sigma^m$这类特殊的正规语言简记为$(d, m)$，分别称为$d$部分和$m$部分。对于$L_1, L_2, \dots, L_k$，其中$L_i = (d_i, m_i)$，我们构建包含单词$d_1, d_2, \dots, d_k$的AC自动机。值得一提的是，由于$L_i$的构造的局部特征，AC自动机的状态数是$O(|\Sigma|(\log l+\log r))$的。

注：AC自动机也是一类（确定）有限状态自动机（(Deterministic) Finite-State Automaton），因此其也可描述成一个有限状态自动机，其状态集为$Q$，初始状态为$q_0 \in Q$，转移函数为$\delta: \Sigma \times Q \to Q$。

Step 3：动态规划

设$f[q][i]$表示：长度为$n$且满足$\delta(q_0, s[1\dots i]) = q$的那些数字串$s$中，$d$部分在$s[1\dots i]$内的$s$的【好】子串的最大个数。则

$$ f[q][i] = \max_{p \to q} \{ f[p][i-1] \}+g[q][n-i], $$

其中$p \to q$表示存在$a \in \Sigma$使得$\delta(p, a) = q$，$g[q][L]$表示$d$部分恰好在$q$处结束且$m$部分长度不超过$L$的正规语言个数，即

$$ g[q][L] = \sum_{i=1}^k [d_i \in \text{pre}(q) \land m_i \leq L], $$

其中$\text{pre}(q) = \{ q, \text{link}(q), \text{link}(\text{link}(q)), \dots, q_0 \}$表示$q$在失败树上的所有祖先，而$\text{link}(q)$表示$q$在AC自动机中的失败指针。

于是时间复杂度为$O(|\Sigma|^2 n(\log l+\log r))$，通过一些小优化可将时间复杂度降为$O(|\Sigma| n (\log l+\log r))$。