P5346 【XR-1】柯南家族

题目地址：P5346 【XR-1】柯南家族

Q：官方题解会咕么？

A：不会！（大雾

题解环节

首先，我们假设已经求出了 \(n\) 个人聪明程度的排名。

\(op = 1\) 是可以 \(O(1)\) 回答的。

对于 \(op = 2\) 和 \(op = 3\)，由于求第 \(k\) 大很容易想到主席树。

\(op = 2\) 只需要在节点的父亲版本上更新即可。

\(op = 3\) 只需要按照 \(dfs\) 序更新即可。

那么 \(op = 2\) 和 \(op = 3\) 可以做到单次 \(O(\log n)\) 回答。

以上都挺套路的，现在的问题在于，如何 \(sort\)。

算法一：暴力

直接模拟比较方式即可，这里给出比较函数。

inline bool cmp(int x, int y) {
    int fx = x, fy = y;
    while (fx != fy && a[fx] == a[fy]) {
        x = fx, y = fy;
        fx = f[fx], fy = f[fy];
    }
    return a[fx] < a[fy] || (a[fx] == a[fy] && x < y);
}

然后直接调用 \(sort\) 函数即可，时间复杂度 \(O(n^2)\)，期望得分 \(14\) 分。

算法二：树上倍增 + 哈希

这是应该算是对暴力的优化。

//g[x]:log(x)
//d[x]:x的深度
//h[x]:从根节点到x的哈希值
//f[i][x]:树上倍增中x的第i祖先
//H(x,y):x到y的哈希值
inline bool cmp(int x, int y) {
    int w = g[min(d[x],d[y])];
    if (h[x] != h[y]) {
        for (int i = w; ~i; i--)
            if (H(f[i][x], x) == H(f[i][y], y)) {
                x = f[0][f[i][x]];
                y = f[0][f[i][y]];
            }
        if (a[x] == a[y]) {
            x = f[0][x];
            y = f[0][y];
        }
        return a[x] < a[y];
    } else {
        for (int i = w; ~i; i--)
            if (f[i][x] != f[i][y]) {
                x = f[i][x];
                y = f[i][y];
            }
        return x < y;
    }
}

需要预处理一大堆东西，然后仍然直接调用 \(sort\) 函数即可，时间复杂度 \(O(n \log ^ 2 n)\)，期望得分 \(32\) 分。

没错，两只 \(\log\) 很成功的被我卡掉了。

算法三：后缀排序 SA

考虑部分分：

对于另 \(20\%\) 的数据，保证一个人最多只有一个儿子，每个测试点 \(9\) 分，时限 4s。

即整个家族形成一条链。

那么其实这就是一个以 \(n\) 节点为头，根节点为尾的字符串，而题目所要求的其实就是后缀排序。

由于智商值的规模高达 \(10^9\) ，离散化一下，然后使用 SA 进行排序即可，时间复杂度 \(O(n \log n)\) ，期望得分 \(18\) 分，结合方法二可以得到 \(50\) 分。

算法四：

看一眼数据范围 \(1 \le n \le 5 \times 10 ^ 5\)，这显然要求我们用一种 \(O(n \log n)\) 的算法进行排序。

受到方法三的启发，我们能不能把 SA 搬到树上呢？

于是，我们需要引入树上 SA。

模板：【模板】树上后缀排序

为了写篇题解我还造了道模板题。

我们尝试把普通 SA 改成树上 SA，所以先把普通 SA 贴上来。

namespace SA {
    int sa[N], rk[N], tp[N], tx[N];

    inline void tsort() {
        for (int i = 1; i <= m; i++) tx[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ++tx[rk[i]];
        for (int i = 1; i <= m; i++) tx[i] += tx[i-1];
        for (int i = n; i; i--) sa[tx[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
    }

    inline bool pd(int i, int w) {
        return tp[sa[i-1]] == tp[sa[i]] && tp[sa[i-1]+w] == tp[sa[i]+w];
    }

    inline void main() {
        for (int i = 1; i <= n; i++) rk[i] = s[i] - 'a' + 1, tp[i] = i;
        tsort();
        for (int w = 1, p = 0; p < n; w <<= 1, m = p) {
            p = 0;
            for (int i = 1; i <= w; i++) tp[++p] = n - w + i;
            for (int i = 1; i <= n; i++) if (sa[i] > w) tp[++p] = sa[i] - w;
            tsort(), swap(rk, tp), rk[sa[1]] = p = 1;
            for (int i = 2; i <= n; i++) rk[sa[i]] = pd(i, w) ? p : ++p;
        }
    }
}

想要把普通 SA 改成树上 SA，仔细观察上面的代码可以发现：

1. \(tsort\) 函数肯定是不用改的；
2. \(pd\) 函数可以用树上倍增实现；
3. \(main\) 函数似乎也很好改？

于是开始改改改，突然发现有个问题：由于序列上每个后缀长度都不一样，所以不可能出现完全相同的字符串，可是在树上是可能出现这种情况的。

然后就没办法了么？

办法肯定是有的要不然这道题是咋出出来的。

我们来思考一下，在倍增的每一轮，基数排序究竟要达到什么目的？

对于普通 SA，在倍增的每一轮，假设已经对所有长度为 \(x\) 的串排好序了。“第一关键字”和“第二关键字”代表了两个首尾相接的长度为 \(x\) 的串，称为“主串”和“次串”。基数排序通过 \(O(n)\) 的时间，将每一对“主串”和“次串”合并成一个长度为 \(2x\) 的新串并保持合并后有序。

这样可以保证 \(O(\log n)\) 次后，所有后缀呈有序状态。

对于树上 SA，也是同样的。只不过，除了“主串”作为第一关键字，“次串”作为第二关键字以外，为了保证合并后的有序性，我们还要额外将上一轮的有序状态作为第三关键字。同时第二关键字也不能简单地用原先的 \(rk\) 数组构造（因为 \(rk\) 数组会出现相同的排名），而要额外使用没有重复的数组（下面代码中的 \(rkk\) 数组）构造。

总而言之，我们需要使用两次基数排序来达到目的，具体实现请参考代码因为这说得实在是太抽象了：

namespace SA {
    int sa[N], rk[N], rkk[N], tp[N], rk2[N], tx[N];

    inline void tsort(int *sa, int *rk, int *tp, int m) {
        for (int i = 0; i <= m; i++) tx[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ++tx[rk[i]];
        for (int i = 1; i <= m; i++) tx[i] += tx[i-1];
        for (int i = n; i; i--) sa[tx[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
    }

    inline bool pd(int i, int t) {
        return tp[sa[i-1]] == tp[sa[i]] && tp[f[t][sa[i-1]]] == tp[f[t][sa[i]]];
    }

    inline void main() {
        int p = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = s[i] - 'a' + 1, tp[i] = i;
        tsort(sa, a, tp, n);
        rk[sa[1]] = rkk[sa[1]] = p = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            rk[sa[i]] = a[sa[i-1]] == a[sa[i]] ? p : ++p;
            rkk[sa[i]] = i;
        }
        for (int w = 1, t = 0; w < n; w <<= 1, ++t) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) rk2[i] = rkk[f[t][i]];
            tsort(tp, rk2, sa, n);
            tsort(sa, rk, tp, p);
            swap(rk, tp);
            rk[sa[1]] = rkk[sa[1]] = p = 1;
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                rk[sa[i]] = pd(i, t) ? p : ++p;
                rkk[sa[i]] = i;
            }
        }
    }
}

当然也许还有其他写法。

有了树上 SA，原题就很简单了就是个板子，下面贴上 std：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

namespace IO {
    const int SIZE = (1 << 21) + 1;
    char ibuf[SIZE], *iS, *iT, obuf[SIZE], *oS = obuf, *oT = oS + SIZE - 1, c, qu[55];
    int f, qr;
#define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = ibuf) + fread(ibuf, 1, SIZE, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS++)) : *iS++)

    inline void flush() {
        fwrite(obuf, 1, oS - obuf, stdout);
        oS = obuf;
    }

    inline void putc(char x) {
        *oS++ = x;
        if (oS == oT) flush();
    }

    template <class I>
    inline void rd(I &x) {
        for (f = 1, c = gc(); c < '0' || c > '9'; c = gc())
            if (c == '-') f = -1;
        for (x = 0; c <= '9' && c >= '0'; c = gc())
            x = x * 10 + (c & 15);
        x *= f;
    }

    template <class I>
    inline void print(I x) {
        if (!x) putc('0');
        if (x < 0) putc('-'), x = -x;
        while (x) qu[++qr] = x % 10 + '0', x /= 10;
        while (qr) putc(qu[qr--]);
        putc('\n');
    }

    struct Flusher_ {
        ~Flusher_() {
            flush();
        }
    } io_flusher_;
}
using IO::rd;
using IO::print;

const int N = 5e5 + 6;
int n, q, f[21][N], a[N], b[N];
vector<int> e[N];

namespace SA {
    int sa[N], rk[N], rkk[N], tp[N], rk2[N], tx[N];

    inline void tsort(int *sa, int *rk, int *tp, int m) {
        for (int i = 0; i <= m; i++) tx[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ++tx[rk[i]];
        for (int i = 1; i <= m; i++) tx[i] += tx[i-1];
        for (int i = n; i; i--) sa[tx[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
    }

    inline bool pd(int i, int t) {
        return tp[sa[i-1]] == tp[sa[i]] && tp[f[t][sa[i-1]]] == tp[f[t][sa[i]]];
    }

    inline void main() {
        int p = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) tp[i] = i;
        tsort(sa, a, tp, n);
        rk[sa[1]] = rkk[sa[1]] = p = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            rk[sa[i]] = a[sa[i-1]] == a[sa[i]] ? p : ++p;
            rkk[sa[i]] = i;
        }
        for (int w = 1, t = 0; w < n; w <<= 1, ++t) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) rk2[i] = rkk[f[t][i]];
            tsort(tp, rk2, sa, n);
            tsort(sa, rk, tp, p);
            swap(rk, tp);
            rk[sa[1]] = rkk[sa[1]] = p = 1;
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                rk[sa[i]] = pd(i, t) ? p : ++p;
                rkk[sa[i]] = i;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = rkk[i];
    }
}

namespace Seg {
    struct T {
        int l, r, c;
    } t[2][N*20];
    int tot[2], rt[2][N], dfn[N], s[N], num;

    inline int ins(int o, int p, int l, int r, int x) {
        int q = ++tot[o];
        t[o][q] = t[o][p];
        ++t[o][q].c;
        if (l ^ r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (x <= mid) t[o][q].l = ins(o, t[o][p].l, l, mid, x);
            else t[o][q].r = ins(o, t[o][p].r, mid + 1, r, x);
        }
        return q;
    }

    inline int ask(int o, int p, int q, int l, int r, int k) {
        if (l == r) return l;
        int mid = (l + r) >> 1, rc = t[o][t[o][q].r].c - t[o][t[o][p].r].c;
        if (k <= rc) return ask(o, t[o][p].r, t[o][q].r, mid + 1, r, k);
        return ask(o, t[o][p].l, t[o][q].l, l, mid, k - rc);
    }

    inline void dfs(int x) {
        dfn[x] = ++num;
        rt[1][num] = ins(1, rt[1][num-1], 1, n, a[x]);
        s[x] = 1;
        for (unsigned int i = 0; i < e[x].size(); i++) {
            int y = e[x][i];
            rt[0][y] = ins(0, rt[0][x], 1, n, a[y]);
            dfs(y);
            s[x] += s[y];
        }
    }

    inline void main() {
        rt[0][1] = ins(0, 0, 1, n, a[1]);
        dfs(1);
        while (q--) {
            int o, x;
            rd(o), rd(x);
            if (o == 1) print(n + 1 - a[x]);
            else {
                int k;
                rd(k);
                if (o == 2) print(SA::sa[ask(0, 0, rt[0][x], 1, n, k)]);
                else print(SA::sa[ask(1, rt[1][dfn[x]-1], rt[1][dfn[x]+s[x]-1], 1, n, k)]);
            }
        }
    }
}

int main() {
    rd(n), rd(q);
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        rd(f[0][i]);
        e[f[0][i]].push_back(i);
    }
    int t = 0;
    bool flag = 1;
    while (flag && ++t) {
        flag = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if ((f[t][i] = f[t-1][f[t-1][i]])) flag = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        rd(a[i]);
        b[i] = a[i];
    }
    sort(b + 1, b + n + 1);
    int p = unique(b + 1, b + n + 1) - (b + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = lower_bound(b + 1, b + p + 1, a[i]) - b;
    SA::main();
    Seg::main();
    return 0;
}

代码不长，也就 \(4k\)。

算法五：

比赛时有两个人 AC 了此题：租酥雨，究极龙骑士。

先 Orz 这叫官方膜拜。

他们用的都是替罪羊树维护不知道是不是叫后缀平衡树。

然而我甚至不会替罪羊树。

这个方法现在已知有两个人写了题解：Owen_codeisking，dsidsi。

那我就不写了反正本来就不会。

总结一下这两篇题解的共性：都参考租酥雨的代码还都 diss 了窝（委屈。

故事环节

idea 来源

凭空想到的。

一开始的想法是，树上倍增和 SA 的倍增可以结合一下嘛。

然后后来就搞出了树上 SA 这么个东西。

后来 World Final 有道题似乎要用树上 SA 不过听说被出题人对着卡？

当时还因为奶中了 WF 的算法兴奋了好一阵子。

然后省选就凉了。

彩蛋

不知道大家有没有发现本场比赛的彩蛋呢？

本场比赛的日期是 05-04，这个日期是不是有什么特殊的意义呢？

江户川柯南：真实身份是高中生侦探工藤新一。\(17\) 岁，因服下毒药身体变小后约 \(7\) 岁。生日是 \(5\) 月 \(4\) 日，来源于 \(1891\) 年 \(5\) 月 \(4\) 日福尔摩斯和莫里亚蒂教授坠入莱辛巴赫瀑布的日期。

工藤新一： \(17\) 岁的高中生侦探。生日为 \(5\) 月 \(4\) 日，来源于《福尔摩斯探案集之最后一案》中， \(1891\) 年 \(5\) 月 \(4\) 日福尔摩斯和莫里亚蒂教授在莱辛巴赫瀑布展开对决，莫里亚蒂掉到瀑布里死亡，福尔摩斯生还。

祝柯南和新一生日快乐！

没了么？

还有么？

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