并不对劲的bzoj3677:p3647:[APIO2014]连珠线

题目大意

有一种生成\(n\)个点的树的方法为：

一开始有一个点，\(n-1\)次操作，每次可以有两种操作：1.选一个点，用一条红边将它与新点连接；2.将新点放在一条红边上，新点与这条红边两端点直接的连边变成蓝色

给出一个\(n(n\leq 2\times10^5)\)个点的树，问如何分配边的颜色使这棵树能用上述方法生成，而且蓝边权值之和最大

题解

（想要简明且优秀的题解点这里）

考虑那种生成方法，发现每条蓝边肯定是由一条红边“分裂”的，那就可以把“连红边”和“分裂红边”放在一起考虑

将初始点当根，那么想要生成蓝边时，一定会生成一条长度为2的蓝色直链

即确定根之后，存在一种方案将所有蓝边划分成若干条长为2的直链

考虑换根dp，发现不想写

先随便找一个点当“假根”

发现在考虑点\(u\)时，根具体在哪不影响答案，但根是在 \(u\)除自己以外的子树中 还是 在\(u\)或\(u\)的子树外 会影响过点\(u\)的蓝直链形态

\(u\)是否是蓝直链的中点也会影响

那么就可以设\(f(u,i,j)\)表示考虑点\(u\)时，根在/不在\(u\)除自己以外的子树中，且\(u\)是/不是中点

又发现当根在\(u\)除自己以外的子树中，且\(u\)为中点，且过它的蓝直链在假根看来是弯链，这样它的转移就会和 过它的蓝直链在假根看来是弯链 不同

所以\(u\)就会有5个状态：\(f(u,0,0),f(u,0,1),f(u,1,0),f(u,1,1)\)（过它的直链在假根看来是弯链）\(,f(u,1,2)\)（过它的直链在假根看来是直链）

多乎哉？不多也

下面考虑如何得到\(f(u,i,j)\)

发现得到\(f(u,1,1)\)需要像儿子中连2条作为过它的蓝直链的边，\(f(u,0,1),f(u,1,2)\)需要连1条作为过它的蓝直链的边，那就需要把“实际连了几条边”记在状态里

当根在\(u\)除自己以外的子树中时，还要记当前是否有根出现在儿子的子树中

所以为了求出\(f(u,i,j)\)，要再给\(u\)设\(g(u,i,j,k)\)，其中\(k\)表示是否已经有根出现在子树中：\(g(u,0,0,k)\)，\(g(u,0,1,k)\)，\(g(u,0,2,k)\)，\(g(u,1,0,k)\)，\(g(u,1,1,k)\)，\(g(u,1,2,k)\)，\(g(u,1,3,k)\)，\(g(u,1,4,k)\)，\(g(u,1,5,k)\)

其中：

\(g(u,0,0,k)\)同\(f(u,0,0)\)

\(g(u,0,1,k),g(u,0,2,k)\)表示想要达到\(f(u,0,1)\)的状态，实际连了0或1条作为过它的蓝直链的边

\(g(u,1,0,k)\)同\(f(u,1,0)\)

\(g(u,1,1,k),g(u,1,2,k),g(u,1,3,k)\)表示想要达到\(f(u,1,1)\)的状态，实际连了0或1或2条作为过它的蓝直链的边

\(g(u,1,4,k),g(u,1,5,k)\)表示想要达到\(f(u,1,2)\)的状态，实际连了0或1条作为过它的蓝直链的边

多乎哉？不多也

接下来考虑转移，设\(v\)为当前考虑到的\(u\)的儿子

要注意的是，\(v\)作为中点且过\(v\)的蓝直链在假根看来也是直链时，\(u,v\)之间必须为蓝边

如果\(u,v\)都不是中点，那么它们之间的边不能为红

具体转移见代码

最后的答案是\(max( f(假根,0, 0), f(假根, 1, 0), f(假根, 1, 1) )\)，因为假根没有父亲，而\(f(u,0,1),f(u,1,2)\)需要\(u\)与\(u\)的父亲之间连蓝边

代码

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define view(u,k) for(int k=fir[u];~k;k=nxt[k])
#define maxn 200010
#define maxm (maxn<<1)
#define inf 2147483647
using namespace std;
int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
void write(int x)
{
	if(x==0){putchar('0'),putchar('\n');return;}
	int f=0;char ch[20];
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;
	while(f)putchar(ch[f--]);
	putchar('\n');
	return;
}
int n,g[3][6][2],t[3][6][2],f[maxn][2][3],fir[maxn],v[maxm],nxt[maxm],cnt,w[maxm];
void ade(int u1,int v1,int w1){v[cnt]=v1,nxt[cnt]=fir[u1],w[cnt]=w1,fir[u1]=cnt++;}
int add(int x,int y){if(x==-inf||y==-inf)return -inf;return x+y;}
#define upd(x,y) x=max(x,y)
void getans(int u,int fa)
{
	view(u,k)if(v[k]!=fa)getans(v[k],u);
	rep(i,0,1)rep(j,0,5)rep(k,0,1)g[i][j][k]=-inf;
	g[0][0][0]=g[0][1][0]=g[1][0][0]=g[1][1][0]=g[1][4][0]=0;
	view(u,k)if(v[k]!=fa)
	{
		rep(i,0,2)t[0][i][0]=g[0][i][0];
		rep(i,0,5)rep(l,0,1)t[1][i][l]=g[1][i][l];
		//一、边(u,v)为红：
		//1.根不在v子树中
		rep(i,0,2)upd(g[0][i][0],add(t[0][i][0],f[v[k]][0][0]));
		rep(i,0,5)rep(l,0,1)upd(g[1][i][l],add(t[1][i][l],f[v[k]][0][0]));
		//2.根在v子树中
		//当过u的蓝直链在假根看来是直链时，在v中的根看来一定是弯链，所以没有到g(u,1,1/2/3/4/5,0/1)的转移
		upd(g[1][0][1],add(t[1][0][0],max(f[v[k]][1][1],f[v[k]][1][0])));
		//二、边(u,v)为蓝
		//1.根不在v子树中
		rep(i,0,2)upd(g[0][i][0],add(add(t[0][i][0],f[v[k]][0][1]),w[k]));
		rep(i,0,5)rep(l,0,1)upd(g[1][i][l],add(add(t[1][i][l],f[v[k]][0][1]),w[k]));
		rep(l,0,1)
		{
			upd(g[0][2][l],add(add(t[0][1][l],f[v[k]][0][0]),w[k]));
			upd(g[1][2][l],add(add(t[1][1][l],f[v[k]][0][0]),w[k]));
			upd(g[1][3][l],add(add(t[1][2][l],f[v[k]][0][0]),w[k]));
			upd(g[1][5][l],add(add(t[1][4][l],f[v[k]][0][0]),w[k]));
		}
		// 2.根在v子树中
		upd(g[1][0][1],add(add(t[1][0][0],f[v[k]][1][2]),w[k]));
		upd(g[1][2][1],add(add(t[1][1][0],max(f[v[k]][1][0],f[v[k]][1][1])),w[k]));
		upd(g[1][3][1],add(add(t[1][2][0],max(f[v[k]][1][0],f[v[k]][1][1])),w[k]));
		upd(g[1][5][1],add(add(t[1][4][0],max(f[v[k]][1][0],f[v[k]][1][1])),w[k]));
	}
	f[u][0][0]=g[0][0][0],f[u][0][1]=g[0][2][0],f[u][1][0]=max(0,g[1][0][1]),
	//f(u,1,0)实际意义是“根在u子树中除u以外的区域时的答案” （即u没儿子时为-inf）
	//但当它转移到u的父亲时，它的意义是 “根在u子树中时的答案”（即u没儿子时为0）
	//而且最终答案最小值为0，所以在这里将它改为0不影响统计答案
	f[u][1][1]=g[1][3][1],f[u][1][2]=g[1][5][1];
}
int main()
{
	memset(fir,-1,sizeof(fir));
	n=read();
	rep(i,1,n-1){int x=read(),y=read(),z=read();ade(x,y,z),ade(y,x,z);}
	getans(1,0);
	write(max(f[1][0][0],max(f[1][1][0],f[1][1][1])));
	return 0;
}
/*
5
1 2 10
1 3 40
1 4 15
1 5 20
*/

一些感想

换根dp可以记一位状态表示“真的根在不在该子树里”。