【数论】【筛法求素数】【欧拉函数】bzoj2818 Gcd

gcd(x,y)(1<=x,y<=n)为素数(暂且把(x,y)和(y,x)算一种) 的个数

<=> gcd(x/k,y/k)=1，k是x的质因数 的个数

<=> Σφ(x/k) (1<=x<=n,k是x的质因子)

这样的复杂度无法接受，

∴我们可以考虑枚举k，计算Σφ(q/k) (k是n以内的质数，q是n以内k的倍数)，即Σ[φ(1)+φ(2)+φ(3)+...+φ(p)] (p=n/k)

介个phi的前缀和可以预处理粗来。

但是(x,y)和(y,x)并不同，所以在计算前缀和的时候，对于φ(x) (x≠1)，要乘2再累加，即Σ[φ(1)+φ(2)*2+φ(3)*2+...+φ(p)*2] (p=n/k)。

∴对每个n以内的素数，我们可以O(1)地得到其对答案的贡献。

∴时间复杂度花费在筛素数和预处理phi上，为O(n*log(log(n)))或O(n)[线性筛]。

 #include<cstdio>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int phi[],n;
 bool unPrime[];
 ll ans,sum[];
 void Shai_Prime()
 {
     unPrime[]=;
     for(ll i=;i<=n;i++) if(!unPrime[i])
       {
           ans+=sum[n/i];
           for(ll j=i*i;j<=n;j+=i)
           unPrime[j]=;
       }
 }
 void phi_table()
 {
     phi[]=;//规定phi(1)=1;
     for(int i=;i<=n;i++)
       if(!phi[i])//若i是质数(类似筛法的思想)
         for(int j=i;j<=n;j+=i)//i一定是j的质因数
           {
             if(!phi[j]) phi[j]=j;
             phi[j]=phi[j]/i*(i-);
           }
 }
 void init_sum()
 {
     sum[]=phi[];
     for(int i=;i<=n;i++) sum[i]=(ll)(phi[i]<<)+sum[i-];
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n); phi_table(); init_sum(); Shai_Prime();
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }