USACO 奶牛抗议 Generic Cow Protests

USACO 奶牛抗议 Generic Cow Protests

Description

约翰家的N头奶牛聚集在一起，排成一列，正在进行一项抗议活动。第i头奶牛的理智度 为Ai，Ai可能是负数。约翰希望奶牛在抗议时保持理性，为此，他打算将所有的奶牛隔离成 若干个小组，每个小组内的奶牛的理智度总和都要大于零。由于奶牛是按直线排列的，所以 一个小组内的奶牛位置必须是连续的。

请帮助约翰计算一下，存在多少种不同的分组的方案。由于答案可能很大，只要输出答 案除以1,000,000,009的余数即可。

Input Format

第一行：单个整数：N，1 ≤ N ≤ 10^6

第二行到N + 1行：在第i + 1行有一个整数：Ai，表示第i头奶牛的理智度，−10^5 ≤ Ai ≤ 10^5

Output Format

第一行：单个整数，表示分组方案数除以\(1,000,000,009\)的余数

Sample Input

4

2

3

-3

1

Sample Output

4

Hint

分别是[2 3 − 3 1]，[2 3 − 3][1]， [2][3 − 3 1]，[2][3 − 3] [1]

Solution

本题很容易想到一个\(O(n^2)\)的DP，用\(f[i]\)表示前i个奶牛有几种分组方案，然后枚举\(j\)，如果区间\([j+1,i]\)里的奶牛理智和大于零\(f[i]\)就加上\(f[j]\)即：

设\(s[i]\)为前i头奶牛的理智和

\[f[i]=\sum ^{i-1}_{j=0}[s[i]-s[j]>=0]*f[j]
\]

实际上\(f[i]​\)等于所有满足\(j<i,s[j]<=s[i]​\)的\(f[j]​\)的总和。

求解\(f[i]\)时位置编号是有序的顺序处理即可，但\(s​\)却是无序的且值很大无法解决。

可以发现位置编号很小，如果\(s​\)有序而位置编号无序的话可以用树状数组解决。那怎样才能让位置编号无序，\(s​\)有序？按\(s​\)从小到大排序即可。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define LL long long

inline int read(){
	int num=0,k=1;char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9'){if (c=='-')k=-1;c=getchar();}
	while (c>='0'&&c<='9') num=(num<<1)+(num<<3)+c-48,c=getchar();
	return num*k;
}

struct info{
	LL sum;
	int id;
}ox[1000007];
bool cmp(info a,info b){return a.sum<b.sum||(a.sum==b.sum&&a.id<b.id);}

const LL mod=1000000009;
LL n,ans,c[1000007],f[1000007];

int main(){
	n=read()+1;
	for (int i=2;i<=n;++i)
		ox[i].sum=read()+ox[i-1].sum,ox[i].id=i;
	ox[1].sum=0,ox[1].id=1;f[1]=1;
	std::sort(ox+1,ox+n+1,cmp);
	for (int i=1;i<=n;++i){
		for (int p=ox[i].id;p;p-=lowbit(p))
		 f[ox[i].id]=(f[ox[i].id]+c[p])%mod;
		for (int p=ox[i].id;p<=n;p+=lowbit(p))
		 c[p]=(c[p]+f[ox[i].id])%mod;
		if (ox[i].id==n) break;
	}
    printf("%lld\n",f[n]);
}