题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-2544

题意:给n个点,m条边,求点1到点n的最短路。

思路:

  今天学了下bellman_ford,抄抄模板。dijkstra算法和该算法都是单源最短路径算法,但是dij不能适用含负权边的图。而bellman-ford算法适用于负权边,原理是进行n-1次松弛操作,每次都要对m条边进行松弛,所以算法复杂度是O(mn),比dijkstra要高。如果n-1次操作之后还能进行松弛,说明存在负环。

AC code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std; const int maxn=;
const int maxm=;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,dis[maxn],cnt,loop; struct node{
int u,v,w;
}edge[maxm<<]; void adde(int u,int v,int w){
edge[++cnt].v=v;
edge[cnt].u=u;
edge[cnt].w=w;
} void bellman_ford(int s){
for(int i=;i<=n;++i)
dis[i]=inf;
dis[s]=;
//n-1次松弛
for(int i=;i<n;++i){
bool ok=;
for(int j=;j<=cnt;++j){
int u=edge[j].u,v=edge[j].v,w=edge[j].w;
if(dis[v]>dis[u]+w){
dis[v]=dis[u]+w;
ok=;
}
}
if(!ok) break;
}
//loop=1说明存在负环
for(int i=;i<=cnt;++i){
int u=edge[i].u,v=edge[i].v,w=edge[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w){
loop=;
break;
}
}
} int main(){
while(scanf("%d%d",&n,&m),n||m){
cnt=,loop=;
for(int i=;i<=m;++i){
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
adde(u,v,w);
adde(v,u,w);
}
bellman_ford();
printf("%d\n",dis[n]);
}
return ;
}

思路2:

spfa是bellman-ford的队列优化版本,使用条件一样,vis标记该点是否在队列中,被更新的结点如果不在队列中要重新入队。也可以用来求是否存在负环,用updcnt数组记录每个结点更新次数,如果==n说明更新了n次,即存在负环。

然后说一下spfa的时间复杂度是O(km),k为常数,但最坏情况是O(mn),比较毒瘤,慎用!

下面的代码是luoguP3385,判负环。

AC code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std; const int maxn=;
const int maxm=;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int T,n,m,head[maxn],vis[maxn],cnt,upd[maxn],dis[maxn]; struct node{
int v,w,nex;
}edge[maxm]; void adde(int u,int v,int w){
edge[++cnt].v=v;
edge[cnt].w=w;
edge[cnt].nex=head[u];
head[u]=cnt;
} bool spfa(){
for(int i=;i<=n;++i)
vis[i]=,upd[i]=,dis[i]=inf;
queue<int> que;
que.push();
vis[]=,dis[]=,++upd[];
while(!que.empty()){
int u=que.front();que.pop();
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nex){
int v=edge[i].v,w=edge[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w){
dis[v]=dis[u]+w;
if(!vis[v]){
++upd[v];
if(upd[v]>n) return true;
vis[v]=;
que.push(v);
}
}
}
}
return false;
} int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;++i)
head[i]=;
cnt=;
for(int i=;i<=m;++i){
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
if(w<){
adde(u,v,w);
}
else{
adde(u,v,w);
adde(v,u,w);
}
}
if(spfa()) printf("YE5\n");
else printf("N0\n");
}
return ;
}

  拓展:

  bellman-ford算法还能用来求最长路或者是判断正环,只用改下松弛条件即可。改变dis数组的定义为从源点到其它结点最长路径的长度,初始化为0,松弛时,如果dis[v]<dis[u]+w,则更新,其它操作一样。入poj1860。

AC code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std; const int maxn=;
int n,m,s,head[maxn],vis[maxn],upd[maxn],cnt;
double V,dis[maxn]; struct node{
int v,nex;
double r,c;
}edge[maxn<<]; void adde(int u,int v,double r,double c){
edge[++cnt].v=v;
edge[cnt].r=r;
edge[cnt].c=c;
edge[cnt].nex=head[u];
head[u]=cnt;
} bool spfa(int s,double V){
for(int i=;i<=n;++i) dis[i]=,vis[i]=,upd[i]=;
dis[s]=V,vis[s]=;
queue<int> que;
que.push(s);
++upd[s];
while(!que.empty()){
int u=que.front();que.pop();
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nex){
int v=edge[i].v;
double r=edge[i].r,c=edge[i].c;
if(dis[v]<(dis[u]-c)*r){
dis[v]=(dis[u]-c)*r;
if(!vis[v]){
++upd[v];
if(upd[v]>n) return true;
que.push(v);
vis[v]=;
}
}
}
}
if(dis[s]>V) return true;
return false;
} int main(){
scanf("%d%d%d%lf",&n,&m,&s,&V);
for(int i=;i<=n;++i) head[i]=;
cnt=;
for(int i=;i<=m;++i){
int u,v;
double ruv,cuv,rvu,cvu;
scanf("%d%d%lf%lf%lf%lf",&u,&v,&ruv,&cuv,&rvu,&cvu);
adde(u,v,ruv,cuv);
adde(v,u,rvu,cvu);
}
if(spfa(s,V)) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
return ;
}

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