²  贝塞尔曲线

贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中,曲线经过第一点和最后一点,其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。

²  B样条曲线

针对贝塞尔曲线存在的一些缺点,数学家们提出了B样条方法,在保留贝塞尔全部优点的同时,克服可贝塞尔方法的弱点。

1)      二次B样条曲线

2)      三次B样条曲线

QT中的QPainter提供了绘制贝塞尔曲线的相关API:

void QPainterPath::quadTo(const QPointF &c, const QPointF &endPoint)

void QPainterPath::cubicTo(const QPointF &c1, const QPointF &c2, const QPointF &endPoint)

void QPainter::drawPath(const QPainterPath &path)

Widget.h 
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/// @file   Widget.h
/// @brief  绘制B样条曲线Widget类
///
/// 通过鼠标点击来绘制B样条曲线
/// @author Michael Joessy
/// @date   2019-07-02
/////////////////////////////////////////////////////////////
#ifndef WIDGET_H
#define WIDGET_H

#include <QWidget>
#include <QVector>

class Widget : public QWidget
{
    Q_OBJECT

public:
    Widget(QWidget *parent = nullptr);
    ~Widget();

protected:
    virtual void mousePressEvent(QMouseEvent *event);
    virtual void mouseReleaseEvent(QMouseEvent *event);
    virtual void mouseDoubleClickEvent(QMouseEvent *event);
    virtual void mouseMoveEvent(QMouseEvent *event);
    virtual void paintEvent(QPaintEvent *event);

private:
    void drawSpline();
    qreal N(int k, int i, qreal u);
    qreal N1(int i, qreal u);
    qreal N2(int i, qreal u);
    qreal N3(int i, qreal u);

private:
    QVector<QPointF>    m_ctrlPoints;       // 控制点
    QVector<QPointF>    m_curvePoints;      // 曲线上的点
};

#endif // WIDGET_H

Widget.pp 
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#include "Widget.h"
#include <QMouseEvent>
#include <QPainter>
#include <cmath>

Widget::Widget(QWidget *parent)
    : QWidget(parent)
{
}

Widget::~Widget()
{

}

void Widget::mousePressEvent(QMouseEvent *event)
{
    // 单击鼠标左键获取控制点
    if (event->buttons() == Qt::LeftButton){
        m_ctrlPoints.push_back(event->pos());
    }
    // 单击鼠标右键清空控制点
    else if (event->buttons() == Qt::RightButton) {
        m_ctrlPoints.clear();
    }
    update();
}

void Widget::mouseReleaseEvent(QMouseEvent *event)
{

}

void Widget::mouseDoubleClickEvent(QMouseEvent *event)
{

}

void Widget::mouseMoveEvent(QMouseEvent *event)
{

}

void Widget::paintEvent(QPaintEvent *event)
{
    drawSpline();
}

void Widget::drawSpline()
{
    QPainter painter(this);
    ;       // 阶数
    m_curvePoints.clear();
    ){
        QPointF pt();
        ; i < m_ctrlPoints.size(); ++i){
            QPointF pts = m_ctrlPoints[i];
            pts *= N(currentK, i, u);
            pt += pts;
        }
        m_curvePoints.push_back(pt);
    }

// draw control points
));
    ctrlPen1.setWidth();
    painter.setPen(ctrlPen1);
    ; i < m_ctrlPoints.size(); ++i){
        painter.drawPoint(m_ctrlPoints[i]);
    }
    // draw control lines
));
    ctrlPen2.setWidth();
    ctrlPen2.setStyle(Qt::DashDotDotLine);
    painter.setPen(ctrlPen2);
    ; ++i){
        painter.drawLine(m_ctrlPoints[i], m_ctrlPoints[i + ]);
    }
    // draw spline curve
));
    curvePen.setWidth();
    painter.setPen(curvePen);
    ; ++i){
        painter.drawLine(m_curvePoints[i], m_curvePoints[i + ]);
    }
}

qreal Widget::N(int k, int i, qreal u)
{
    switch (k) {
    :
        return N1(i, u);
    :
        return  N2(i, u);
    :
        return  N3(i, u);
    default:
        break;
    }
}

qreal Widget::N1(int i, qreal u)
{
    qreal t = u - i;
    ){
        return t;
    }
    ){
         - t;
    }
    ;
}

qreal Widget::N2(int i, qreal u)
{
    qreal t = u - i;
    ){
         * t * t;
    }
    ){
        ;
    }
    ){
        );
    }
    ;
}

qreal Widget::N3(int i, qreal u)
{
    qreal t = u - i;
    qreal a = ;
    ){
        return a * t * t * t;
    }
    ){
        );
    }
    ){
        );
    }
    ){
        );
    }
    ;
}

上述算法有点简单,https://github.com/vkorchagin/animated-b-spline提供了比较好的算法例子,值得参考。

给定B样条曲线的控制点。 这些点在屏幕上移动,从而使样条动画。
B样条通过de Boor算法转换为合成Bezier曲线。 贝塞尔曲线用de Casteljau算法进行插值。
特征:
添加和删除控制点。
通过de Casteljau算法更改插值质量。
切换抗锯齿。
不断变化的动画速度。
切换可见点和线。

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