NP完全问题的证明

目录

• NP完全问题的证明
  • 一、限制法
    • 最小覆盖问题(VC)
    • 子图同构问题
    • 0-1背包(Knapsack)
    • 三元集合的恰当覆盖(X3C)
    • 集中集
    • 有界度的生成树
    • 多处理机调度
  • 二、局部替换法
    • 3SAT问题
    • 两点间的哈密顿通路问题
    • 区间排序
    • 分量设计法
    • 最小拖延排序

NP完全问题的证明

一、限制法

最小覆盖问题(VC)

• 问题实例 集合\(S\)的子集的集合\(C\)，正整数\(k\)。问\(C\)是否有\(S\)的大小不超过\(k\)的覆盖，即是否包含子集\(C' \subseteq C\)使得 \(|C'|=k\)且 \(\bigcup C'=S\)。
• 证明方法：限制 \(\forall c \in C\)，\(|c|=3\)，\(|S|=sk\)，则为X3C问题。

子图同构问题

• 问题实例
  图\(G=(V_1,E_1)\)，\(H=(V_2,E_2)\)。
  问\(G\)中是否有同构于\(H\)的子图，即是否有子集\(V \subseteq V_1\)，\(E \subseteq E_1\)，使得 \(|V|=|V_2|\)，\(|E|=|E_2|\) ，且存在双射函数\(f:V_2 \to V\)，使得 \((u,v) \in E \Longleftrightarrow (f(u),f(v)) \in E_2\) 。
• 证明方法：限制\(H\)为完全图，且 \(|V_2|=k\) ，则该问题是团的问题。

0-1背包(Knapsack)

• 问题实例
  有穷集\(U\)，\(\forall u \in U\)，大小\(s(u)\in Z^+\)，价值\(v(u)\in Z^+\)，大小的约束\(B \in Z^+\)，价值目标\(K \in Z^+\)。
  问是否有子集\(U' \subseteq U\)，使得
  \[\begin{equation}
  \sum_{\boldsymbol{u} \in U} \boldsymbol{s}(\boldsymbol{u}) \leq \boldsymbol{B}, \quad \sum_{\boldsymbol{u} \in \boldsymbol{U}^{\prime}} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{u}) \geq \boldsymbol{K}
  \end{equation}\]
• 证明方法：限制 \(\forall v \in U\)，
  \[s(u)=v(u)\]
  \[
  B=\left\lfloor\frac{1}{2} \sum_{u \in U} s(u)\right\rfloor, \quad K=\left\lceil\frac{1}{2} \sum_{u \in U} v(u)\right\rceil
  \]
  则成为均分问题。

三元集合的恰当覆盖(X3C)

• 问题实例
  有穷集\(S\) ，\(|S|=3q\) ，\(S\) 的三元子集\(C\)。
  问是否有\(C' \subseteq C\)，使得\(S\)的每个元素恰好出现在\(C'\) 的一个成员中。
• 证明方法：限制
  • \(S=W \cup X \cup Y\)
  • \(|W|=|X|=|Y|=q\)
  • \(C=\{(w,x,y)|(w,x,y) \in W \times X \times Y)\}\) 则 \(|C'| = q\) ，且\(C'\) 中任两个元素都不相交，成为3DM问题。

集中集

• 集合\(S\)的子集的集合\(C\),正整数\(k\)。问\(S\)是否包含\(C\)的大小不超过\(k\)的集中集，即是否有\(S' \subseteq S\)，\(|S'| \leq k\)，使得\(S'\)至少包含\(C\)的每个子集的一个元素。
• 证明方法：限制 \(\forall c \in C\) ，\(|c|=2\)，令\(V=S\)，\(E=C\)，则构成图 \(G=(V,E)\) 的顶点覆盖问题。

有界度的生成树

• 问题实例
  图\(G=(V,E)\)
  问\(G\)是否包含一棵顶点度数不超过\(k\)的生成树，即是否有子集\(E'\subseteq E\)，\(|E'|=|V|-1\)，图\(G'=(V,E')\) 是连通的，且\(V\)中每个顶点至多包含在\(E'\) 的\(k\) 条边中。

• 证明方法：限制\(k=2\) ，该问题则为哈密顿通路问题。

多处理机调度

• 问题实例 有穷任务集\(A\)，\(\forall a \in A\)，长度\(l(a) \in Z^+\)，处理机台数\(m \in Z^+\)，截止时间\(D \in Z^+\)。
  问是否存在不交的集合\(A_1,A_2,...,A_m\)使得
  \[
  A=A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{m}
  \]
  \[
  \max \left\{\sum_{a \in A_{i}} l(a): 1 \leq i \leq m\right\} \leq D
  \]
• 证明方法：限制\(m=2\)，
  \[
  D=\left\lfloor\frac{1}{2} \sum_{a \in A} l(a)\right\rfloor
  \]
  则成为均分问题。

二、局部替换法

选择已知完全问题的实例中的某些元素作为基本单位，然后把每个基本单元替换成指定结构，从而得到目标问题的对应实例。

3SAT问题

两点间的哈密顿通路问题

区间排序

分量设计法

最小拖延排序