【数学】【P5077】 Tweetuzki 爱等差数列

Description

Tweetuzki 特别喜欢等差数列。尤其是公差为 \(1\) 且全为正整数的等差数列。

显然，对于每一个数 \(s\)，都能找到一个对应的公差为 \(1\) 且全为正整数的等差数列各项之和为 \(s\)。这时，Tweetuzki 想知道，满足这样条件的等差数列，最小的首项是多少。

由于 Tweetuzki 的数学非常差，尤其是因式分解，所以请你告诉他结果。

Input

输入仅包含一行一个整数 \(s\)

Output

输出一行两个用空格隔开的整数代表首项和末项

Hint

对于 \(10\%\) 的数据，\(1~\leq~s~\leq~10^6\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1~\leq~s~\leq~10^{12}\)

Solution

考虑前 \(10\%\) 的点，暴力枚举首项，枚举完首项就可以 \(O(1)\) 判断是否合法了。期望得分 10 pts

考虑剩下的部分：

一个等差数列的长度只有为奇数和偶数两种可能，下面对这两种可能分类讨论：

对于长度为奇数的情况，设这个等差数列共有 \(2x~+~1\) 项，其中中项（最中间）为 \(a_k\)

因为 \(a_{k-i}~+~a_{k+i}~=~2~\times~a_k\)，所以 \(\sum~a_i~=~(2x~+~1)~a_k~=~s\)

同理，对于长度为偶数的情况，设共有 \(2x\) 项，其中中间两项为 \(a_k~,~a_{k+1}\)，因为公差为\(1\)，所以即为 \(a_k~,~a_k~+~1\)

于是 \(\sum~a_i~=~x(a_k+a_k~+~1)~=~x~(2a_k~+~1)~=~s\)

由此我们得到了两种情况的关系式

\[s~=~\begin{cases}(2x~+~1)~a_k \\x~(2a_k~+~1) \end{cases}
\]

其中第一种情况长度为奇数，第二种情况长度为偶数。

注意到这两个式子都是 \(s\) 的因数分解，于是考虑直接枚举 \(x\) 的因数。

在第一种情况下，因为 \(a_k\) 是它的因数，我们考虑枚举 \(a_k\)，只要枚举到第一个合法的 \(a_k\) 即可停止，

第二种情况下，因为 \(x\) 是它的因数，我们考虑枚举 \(x\)，计算所有合法的 \(a_k\)

另外记得特判一个数是由自己做等差数列的情况

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define freopen(a, b, c)
#define putchar(o) \
puts("I am a cheater!")
#endif
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long long int ll;

namespace IPT {
	const int L = 1000000;
	char buf[L], *front=buf, *end=buf;
	char GetChar() {
		if (front == end) {
			end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
			if (front == end) return -1;
		}
		return *(front++);
	}
}

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
	if (lst == '-') x = -x;
}

template <typename T>
inline void ReadDb(T &x) {
	rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch = IPT::GetChar();
	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
	if (ch == '.') {
		ch = IPT::GetChar();
		double base = 1;
		while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x += (ch ^ 48) * ((base *= 0.1)), ch = IPT::GetChar();
	}
	if (lst == '-') x = -x;
}

namespace OPT {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
	if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}
	rg int top=0;
	do {OPT::buf[++top] = x % 10 + '0';} while (x /= 10);
	while (top) putchar(OPT::buf[top--]);
	if (pt) putchar(aft);
}

ll s, ans = 1000000000000ll, ss;

int main() {
	freopen("1.in", "r", stdin);
	qr(s);
	for (rg ll i = 2; (i * i) <= s; ++i) if(!(s % i)) {		//枚举中项
		ll k = s / i;
		if (k & 1) {
			ll x = k >> 1;
			if ((i - x) > 0) {
				ans = i - x;
				ss = k;
				break;
			}
		}
	}
	for (rg ll i = 1;  (i * i) <= s; ++i) if (!(s % i)) {	//枚举x
		ll k = s / i;
		if (k & 1) {
			ll a = k >> 1;
			if ((a - i) > 0) {
				if (ans > a - i) ans = a - i + 1, ss = i << 1;
			}
		}
	}
	if (ans == 1000000000000ll) printf("%lld %lld\n", s, s);
	else {
		qw(ans, ' ', true);
		qw(ans + ss - 1, '\n', true);
	}
	return 0;
}