BZOJ1010_玩具装箱toy_KEY
这道题可以很快想到暴力DP的做法:
f[i]=min(f[i],f[j]+(C[i]-C[j]+i-j--L)^);
但是数据范围有50000,这就需要用斜率优化了。
我们设S[i]=C[i]+i(C[i]为前缀和),L++,设j为i的最优决策点。。
原方程就变为:
f[i]=f[j]+(S[i]-(S[j]-L))^;
f[i]=f[j]+S[i]^2+(S[j]-L)^2-2*S[i]*(S[j]-L);
f[j]+S[i]^2+(S[j]-L)^2=2*S[i]*(S[j]-L)+f[i];
y = k x + b
我们设2*S[i]为k。
相当于这题就变成了求最小的截距f[i]。
假设A,B,C,D为四个决策点。
因为AB的斜率小于f的斜率(2*S[i]),所以它对当前状态的转移一定是没用的。
因为如果要进过A点转移,需要将f"抬高"很多,会大大增大它的截距(f[i])。
所以斜率小于f(当前点)都可以排除。
所以B为最优决策点。
通过B点转移后,如图:
而对于这个New点,它对于之后的点,比D点更优,因为在之后转移时,CNew比CD的斜率更小,所得截距也最小。(由于f的斜率是单调递增的)
这个在凸包上的操作通过单调队列实现。
code:
#include <cstdio>
using namespace std; int read()
{
char c;while(c=getchar(),c<''||c>'');
int x=c-'';while(c=getchar(),c>=''&&c<='')x=x*+c-'';
return x;
} typedef long long LL;
LL N,L,f[],a[];
LL sum[],S[];
LL l[],h,t; double X(int x){return S[x];}
double Y(int y){return f[y]+(S[y]+L-)*(S[y]+L-);}
double get(int x,int y){
return (Y(y)-Y(x))/(X(y)-X(x));
} int main()
{
N=read(),L=read();L++;
register int i;
for(i=;i<=N;i++)a[i]=read();
for(i=;i<=N;i++){
sum[i]=sum[i-]+a[i];
S[i]=sum[i]+i;
}
h=t=;
for(i=;i<=N;i++){
while(h<t&&get(l[h],l[h+])<*S[i])h++;
f[i]=f[l[h]]+(S[i]-S[l[h]]-L)*(S[i]-S[l[h]]-L);
while(h<t&&get(l[t-],l[t])>get(l[t],i))t--;
l[++t]=i;
}
printf("%lld",f[N]);
return ;
}
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