多源最短路——Floyd算法

Floyd算法

问题的提出：已知一个有向网（或者无向网），对每一对定点vi!=vj，要求求出vi与vj之间的最短路径和最短路径的长度。

解决该问题有以下两种方法：

（1）轮流以每一个定点为源点，重复执行Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法n次，就可以求出每一对顶点之间的最短路径和最短路径的长度，总的时间复杂度为O(n^3)。

（2）采用Floyd算法，时间复杂度也是O(n^3)，但是形式更为直接。

1.介绍

　　floyd算法只有五行代码，代码简单，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)，可以求多源最短路问题。

2.思想：

　　Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

举个例子：已知下图，

　　如现在只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路程，只需判断e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。其中i是1~n循环，j也是1~n循环，代码实现如下。

 for(i=; i<=n; i++)
 {
     for(j=; j<=n; j++)
     {
         if ( e[i][j] > e[i][]+e[][j] )
             e[i][j] = e[i][]+e[][j];
     }
 }

接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路程。在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，代码实现为如下。

 //经过1号顶点
 for(i=; i<=n; i++)
     for(j=; j<=n; j++)
         if (e[i][j] > e[i][]+e[][j])
             e[i][j]=e[i][]+e[][j];
 //经过2号顶点
 for(i=; i<=n; i++)
     for(j=; j<=n; j++)
         if (e[i][j] > e[i][]+e[][j])
             e[i][j]=e[i][]+e[][j];

最后允许通过所有顶点作为中转，代码如下：

   for(k=; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心语句
     {
         for(i=; i<=n; i++)
         {
             for(j=; j<=n; j++)
             {
                 if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )
                 {
                     map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
                 }
             }
         }
     }

这段代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。与上面相同

3.代码模板：

 #include <stdio.h>
 #define inf 0x3f3f3f3f
 int map[][];
 int main()
 {
     int k,i,j,n,m;///n表示顶点个数，m表示边的条数
     scanf("%d %d",&n,&m);
     for(i=; i<=n; i++)///初始化
     {
         for(j=; j<=n; j++)
         {
             if(i==j)
                 map[i][j]=;
             else
                 map[i][j]=inf;
         }
     }
     int a,b,c;
     for(i=; i<=m; i++)///有向图
     {
         scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
         map[a][b]=c;
     }
     for(k=; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心语句
     {
         for(i=; i<=n; i++)
         {
             for(j=; j<=n; j++)
             {
                 if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )
                 {
                     map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
                 }
             }
         }
     }
     for(i=; i<=n; i++)///输出最终的结果,最终二维数组中存的即使两点之间的最短距离
     {
         for(j=; j<=n; j++)
         {
             printf("%10d",map[i][j]);
         }
         printf("\n");
     }
     return ;
 }