BZOJ4350: 括号序列再战猪猪侠【区间DP】

Description

括号序列与猪猪侠又大战了起来。

众所周知，括号序列是一个只有(和)组成的序列，我们称一个括号序列S合法，当且仅当:

1.( )是一个合法的括号序列。

2.若A是合法的括号序列，则(A)是合法的括号序列。

3.若A，B是合法的括号序列，则AB是合法的括号序列。

我们考虑match[i]表示从左往右数第i个左括号所对应的是第几个右括号，现在他得到了一个长度为2n的括号序列，给了你m个信息，第i个信息形如ai,bi，表示match[ai]<match[bi]，要你还原这个序列。

但是你发现这个猪猪侠告诉你的信息，可能有多个括号序列合法；甚至有可能告诉你一个不存在合法括号序列的信息！

你最近学了取模运算，你想知道答案对998244353(7172^23+1)取模的结果，这个模数是一个质数。

Input

第一行一个正整数T,T< = 5，表示数据组数。

对于每组数据，第一行一个n,m，n表示有几个左括号，m表示信息数。

接下来m行，每行两个数ai,bi，1< = ai,bi< = n。

Output

对于每组数据，输出一个数表示答案。

Sample Input

5

1 0

5 0

3 2

1 2

2 3

3 2

2 1

2 3

3 3

1 2

2 3

3 1

Sample Output

1

42

1

2

0

HINT

对于前两个点，是卡特兰数的情况。

对于第三个点，合法的情况只可能是 ()()()。

对于第四个点，合法情况可能是 (()()) 或者 (())()

对于第五个点，由于拓扑关系形成了环，显然无解。

对于 100% 的数据，保证 n < = 300

---

思路

考虑区间DP

\(dp_{l,r}\)表示满足\([l,r]\)的左区间满足条件的方案数

然后你每次考虑在\([l+1,r]\)的个区间中加入l这个括号

有三种情况：

1. 全部包含后面
2. 和后面相离
3. 把后面分成两半

然后发现我们要处理出两个区间分离没有任何冲突的方案数

这个东西可以对match的二维矩阵做一个前缀和sum

然后\([l_1,r_1]\)\([l_2,r_2]\)的冲突个数就是\(l_1,r_1\)~\(l_2, r_2\)子矩阵的和

---

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 310;
const int Mod = 998244353;
int f[N][N], p[N][N], q[N][N], sum[N][N];
int a[N][N], b[N][N];
int n, m;

int add(int a, int b) {
  return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
}

int mul(int a, int b) {
  return 1ll * a * b % Mod;
}

int calc(int x1, int y1, int x2, int y2) {
  return sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1];
}

void solve() {
  scanf("%d %d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      f[i][j] = sum[i][j] = 0;
  bool bk = 0;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int x, y; scanf("%d %d", &x, &y);
    sum[x][y] = 1;
    if (x == y) bk = 1;
  }
  if (bk) {
    printf("0\n");
    return;
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    f[i][i] = 1;
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
      sum[i][j] += sum[i][j - 1] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1];
    }
  }
  for (int len = 2; len <= n; len++) {
    for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
      int r = l + len - 1;
      if (!calc(l, l + 1, l, r)) f[l][r] = add(f[l][r], f[l + 1][r]);
      if (!calc(l + 1, l, r, l)) f[l][r] = add(f[l][r], f[l + 1][r]);
      for (int k = l + 1; k <= r - 1; k++) {
        if (!calc(l, l + 1, l, k) && !calc(k + 1, l, r, k))
          f[l][r] = add(f[l][r], mul(f[l + 1][k], f[k + 1][r]));
      }
    }
  }
  printf("%d\n", f[1][n]);
}
int main() {
#ifdef dream_maker
  freopen("input.txt", "r", stdin);
  freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
  int T; scanf("%d", &T);
  while (T--) solve();
  return 0;
}