题解 - Japanese Student Championship 2021

前言：这场的题解由于蓝桥杯比赛拖延几天才发

关于本篇题解，目前还是有部分题没有解答出来正在加油补题ing

补题链接：Here

A - Competition

题意：给定 \(X,Y,Z\) 代表的意义为，超市一以 Y 元卖 X 克食料包

现在超市二的一包食料包重 \(Z\) 克，请问超市二的售价为多少才能比超市一便宜

思路：

理解一下题意就容易发现：\(\lfloor\frac{YZ - 1}{X}\rfloor\)

B - Xor of Sequences

给定两个严格上升的整数序列 A，B，现求仅出现在A和B的数字，最后结果升序打印

思路：

由于两个序列数据范围不大，直接暴力循环即可

然后赛后看了一下高rank的代码发现了一个函数：set_symmetric_difference

**set_symmetric_difference **可构造区间S1,S2的对称差集（出现于S1但不出现于S2的元素以及出现于S2但不出现于S1的元素）;返回值为指向输出区间的尾端。

void solve() {

    int n, m;

    cin >> n >> m;

    vector<int> A(n), B(m);

    for (int &x : A) cin >> x;

    for (int &x : B) cin >> x;

    vector<int> C;

    set_symmetric_difference(A.begin(), A.end(), B.begin(), B.end(), back_inserter(C));

    for (int x : C) cout << x << " ";

}

C - Max GCD 2

题意：给定一个区间，问 \(A \le x < y \le B\) 求问最大的 \(gcd(x,y)\)

说实话，比赛的时候还真没想到这个方法。

思路：

由于数对 \((x,y)\) 的个数最多 \(2\times 10^{10}\) ，所以我们不可能计算每一对 \((x,y)\) ，相反的、并考虑是非问题“是否存在一对 \((x,y)\) 使得 \(gcd (x，y) = c\)？”

因为 \(c\) 是最大公约数，所以 \(x,y\) 都应该是 \(c\) 的倍数，相反如果在 \([A,B]\) 区间中 \(c\) 的倍数多于两个值，则可以选择 \(x,y\) 使得 \(gcd(x,y) = c\) 成立

由于 \(B \le 2\times10^5\) 所以运行速度会足够快

把上面的话转化为数学表达式：A ~ B 之间 C 的倍数 = （C 的倍数在 \(1\) ~ \(B\) 之间） - （C 的倍数在 \(1\) ~ \(A\) 之间）= \(\lfloor\frac{B}{c}\rfloor - \lfloor\frac{A - 1}{c}\rfloor\)

再转化一下就是检查 \(\lfloor\frac{A}{c}\rfloor < \lfloor\frac{B}{c}\rfloor\)

Show Code

void solve() {

    int A, B;

    cin >> A >> B;

    for (int c = B;; c--)

        if ((A + c - 1) / c < B / c) {

            cout << c << endl;

            return;

        }

}

D - Nowhere P

给定质数 \(P\) ，求有多少序列 \((A_1,A_2,\dots,A_N)\) 满足：

\[\forall i\in[1,n]_\mathbb{N},\sum_{j = 1}^i A_j \not \equiv 0\ (mod\ P)
\]

显然，当 \(n = 1\) 时答案为 \(P - 1\) ，对应合法序列为 \((1),(2),\dots,(p - 1)\)

之后在这些合法序列后插入新数时，每个序列都有且仅有一个数使得这个数插入后该序列非法（该数即为 \((-\sum_ia_i)\ mod\ p\)

故答案为：\((p -1)(p-2)^{N-1}\)

跑 qpow 的时候记得取模

Show Code

const int mod = 1e9 + 7;

ll qpow(ll a, ll b) {

    ll ans = 1;

    a %= mod;

    for (; b; b >>= 1, a = a * a % mod)

        if (b & 1) ans = ans * a % mod;

    return ans;

}

void solve() {

    ll N, P;

    cin >> N >> P;

    cout << (P - 1) * qpow(P - 2, N - 1) % mod;

}

E - Level K Palindrome

本题所有的字符串均指只由小写英文字母构成的字符串

对字符串 \(s\),

定义其反转为: \(\operatorname{rev}(s)\), 则 \(s\) 是回文串 \(\Longleftrightarrow\) \(s = rev(s)\)
\(+\) 运算定义为字符串的拼接
定义字符串上的变换为：将其中某一字符替换为一小写英文字母

定义 \(k\) 阶回文串如下:

空串，非回文串为 \(0\) 阶回文串
对 \(i\) 阶非空回文串 \(s\) 定义 \(s + rev(s)\) 为 \(i + 1\) 阶回文串
对 \(i\) 阶非空回文串 \(s\) 和单个字符 \(c_i\) \(s + c + rev(s)\) 为 \(i + 1\) 阶回文串

给一字符串 \(s\) 问至少经几次变换可使其恰好为 \(k\) 阶回文串

解题思路

显然，若有解则 \(k\) 不可能过大

待补

F - Max Matrix

有一个长为 \(n\) 的全零序列 \(a\) 和长为 \(m\) 的全零序列 \(b\) ,对其做如下操作

将 \(a\) 中的某个数赋一个值
将 \(b\) 中的某个数赋一个值

这两种操作一共进行 \(Q\)次，要求每次操作后都要输出

\[\sum_{i = 1}^n\sum_{j =1}^Mmax\{a_i,a_j\}
\]

待补

G - Spanning Tree

有n个点，考虑以这n个点为顶点，满足如下条件的所有图:

无向图
给出一个矩阵 \(A\)
- 若 \(A_{i,j}=0\),则点 \(i\) 和点 \(j\) 间没有边
- 若 \(A_{i,j}=0\),则点 \(i\) 和点 \(j\) 间没有边
- 若 \(A_{i,j}=-1\),则为上述两种情况的任-种

求这些图中树的个数

思路

首先，考虑所以已经存在的边构成的图，如果有环了，则答案一定为0,否则森林中的每个树都可缩成一个点，之后用矩阵树定理即可

H - Shipping

给一个带权无向图，求满足如下条件的子图的最小边权和

\[\forall \in[1,M]_\mathbb{N},dis(x_i,y_i) \not= ∞
\]