quickpow || 快速幂

洛谷例题

推荐自行脑补：百度百科

如果  ，那么 ；

前言：快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

拿题目样例

Input ：2 10 9

Output：7

2¹⁰ % 9 = 7 没毛病

问题不大 那么真正的问题是怎么算这个

普通幂:废物过程 可你有没有发现这个很烦？

可是 算到2⁶⁴就炸了qwq （__int128啥的给我走开）

b=2,p=10,k=9
2^1=2 2%9=2
2^2=4 4%9=4
2^3=8 8%9=8
2^4=16 16%9=7
2^5=32 32%9=5
2^6=64 64%9=1
2^7=128 128%9=2
2^8=256 256%9=4
2^9=512 512%9=8
2^10=1024 1024%9=7

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递推幂：甚至还可以在优化 成 b^k-1%p*b

其实也就是递推 这样就好一丢丢吧 大数字的时候可以这样暂且优化一下（至少不容易爆精度）

也是比较有实用性的 orz 这样就可以得到

a[] = b ;
    for (register int i=;i<=k;i++) a[i] = a[i-] % p * b ;

这样不就是个递推了吗 海星 用数组只是好理解 而且不太会爆精度 不知道多少分（应该比较优秀的分数吧）

b=,p=,k=
%=
2*2%=
4*2%=
8*2%=
7*2%=
5*2%=
1*2%=2
2*2%9=4 
4*2%9=8 
8*2%9=7 

看图 其实有一部分是循环节（我还复制了） 可以通过循环节来处理加速（不建议）万一没有循环节呢

mod：是时候叫出快速幂（超级飞侠）来帮忙了 每次遇到困难...（不玩梗了）

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快速幂：

快速幂代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline LL quickpow (LL x , LL y , LL mod){ LL ans = ;//自定义函数可作为快速幂模型
    for ( ; y ; x = x * x % mod , y >>= ) y &  ? ans = ans * x % mod : ;
    return (LL) ans % mod ;
}
signed main() {
    LL b,k,p;
    cin >> b >> k >> p ;
    cout << b << '^' << k << " mod " << p << '=' << quickpow(b , k , p) << endl ;
    return ;
}

这个代码可以作为模板使用

（背就完事了哪那么多话）