min-max容斥小结

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1248287

定义

对于一个集合\(S\)，
\(\min(S)\)表示其第一个出现的元素（\(or\)最小的元素），
\(\max(S)\)表示其最后一个出现的元素（\(or\)最大的元素）。

设\(E(x)\)表示元素\(x\)的期望出现次数（出现时是第几次）。
则有一个不可言妙的公式\[E(\max(S))=\sum_{S'\in S}E(\min(S'))*(-1)^{|S'|+1}\]
至于证明。。。蒟蒻这辈子都不可能会的，挂个证明的链接

用途

• 对于一个集合\(S\)，给出每个元素出现的概率，我们需要求每一个元素都出现至少一次的期望次数（即\(\max(S)\)）时，可使用\(min-max\)容斥。

题目

• [X] [HDU4336]Card Collector
  （太板了，不写题解）
• [X] [PKUWC2018]随机游走
  题解