从[NOI2008志愿者招募]浅谈线性规划在网络流构图上的巧用

首先来看一下题。。http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1061

1061: [Noi2008]志愿者招募

Description

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3

2 3 4

1 2 2

2 3 5

3 3 2

Sample Output

14

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

简单的叙述一下题意：给定N天内每一天所需要的人数，以及M类人，每类人有三个属性（开始时间，结束时间，费用），每个人只能在其属性范围内工作，求最小的花费（每个人只能用一次）。

这么复述一遍后应该就很容易想到线性规划了吧。。

设x_i表示第i个人用了几个，c_i表示第i个人的费用属性，p_i表示第i天所需要的人的数量。

那么就可以列出以下线性约束不等式组：

Minimize:Σc_ix_i  (1≤i≤n)

　　s.t.  Σx_i≥p_i   (第i个人可以在第i天工作）

（额貌似有点抽象。。那就举个例子吧。。）

看一下样例。。

即：

　　一共有三天，第一天需要2人，第二天需要3人，第三天需要4人。

　　一共有三类人，按照每类人的属性为(开始时间,结束时间,费用)来表示，那么就是(1,2,2)，(2,3,5)，(3,3,2)。

然后就可以写了。

Minimize:2x₁+5x₂+2x₃

　　s.t.  x₁≥2

　　       x₁+5x₂≥3

　　       5x₂+x₃≥4

那么化简成松弛型后就是这样了：

Z_min=2x₁+5x₂+2x₃

p₁=x₁-y₁=2

p₂=x₁+5x₂-y₂=3

p₃=5x₂+x₃-y₃=4

但是如果要弄成网络流还有很大出入的，毕竟网络流的线性规划部分模型是这样的：

Σ流出-Σ流入=0

也就是说每一个变量在松弛后的等式中要出现一正一负！然后就可以把每一个等式当做一个点，系数互为相反数的一对等式连边，然后去跑网络流就行了。

但是上面那个式子怎么搞呢？要不。。差分吧。。

很容易发现列完式子后每一个x都是正的，而且x_i是按照一段区间的形式出现的，如果要只保留一正一负的话就可以用差分搞咯，也就是说下面的式子减去上面的式子，然后就可以把相同的一段x_i全部都给消掉了。。然后看一下边界处：首先是x_s，即最小的那个x_i变量，把它与它上面那个式子减一下后x_s就成了负的，然后我们考虑x_t+1也就是最后一个x_i的下一个式子，这个式子里是不包含x_i的，那么与上面那个式子相减后就会出现一个负的x_i然后就可以发现每一个x_i都是一正一负出现了，然后就满足了流量平衡，直接套网络流就ok了。。。

然而你们以为网络流会更快么？不不不。。。bzoj上跑的结果是线性规划比网络流快四倍。。。

以上就是全部内容了。。

然而在信息学竞赛中，虽然说线性规划比较直接。。但是空间简直伤不起啊。。据说有一种关于空间的优化叫做什么矩阵

不过网络流的建模的确很玄学。。大概遇到网络流的题目就要炸了。。。