证明中序遍历O(n)

算法导论12.1 什么是二叉搜索树

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二叉搜索树应满足的性质：

设x是二叉搜索树中的一个结点。如果y是x左子树中的一个结点，那么y.key <= x.key。如果y是右子树中的一个结点，那么y.key >= y.key。（这里是可以取等于的）

例如：

     3
    / \
    4
  / \ 
   2 

可以容许相同的数。

中序遍历，因为根的遍历在左右子树之间，顾名中序，也就是左根右。

如上，中序遍历应该是：1234

那么后续遍历就是左右根：1243

前序遍历就是根左右：3124

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可以给出中序遍历的递归式伪码：

inorderTree(x)
    if (x != NIL)
        inorderTree(x.left);
        print x.key;
        inorderTree(x.right);

现在来证明中序遍历是O(n)的。

T(n)表示n个节点中序遍历所需要时间。那么T(0) = c，c为常数，因为要判断x是否为NIL的常数时间。

首先，最起码要遍历n个结点，所以下限为Ω(n)。只要再证明上限O(n)那么它就是O(n)的复杂度了。

以下证上限：

因为有左右子树，设左子树有k个结点，那么右子树就有n-k-1个。

就有了递推式：

T(n) <= T(k) + T(n-k-) + d

d类似常数c，是其他的常数操作。因为加了d，所以就用小于等于。

那么证明T(n) = O(n)是等价于证明如下式子成立的：

T(n) <= (c+d)*n + c

T(0) = c 显然成立，数学归纳法：

可以把红色部分的式子代入到前面那个式子的右边把右边的T(k) 和 T(n-k-1)替换掉就有了

T(n) <= ((c+d)*k + c) + ((c+d)*(n-k-)) + c) + d = (c + d)*n + c

真神奇，可见红色部分成立，那么T(n)上限就是O(n)。

综合上下限，所以T(n)的复杂度是O(n)。