Binary Index Tree

0 引言

Leetcode307

这道题给一个可变数组，求从\(i\)到\(j\)的元素之和。

一个naive的做法是，每次查询都从\(i\)累加到\(j\)：

class NumArray {
public:
    NumArray(vector<int>& nums) {
        nums_ = nums;
    }

    void update(int i, int val) {
        nums_[i] = val;
    }

    int sumRange(int i, int j) {
        int ans = 0;
        for(int l = i;l <= j;++l)
            ans += nums_[l];
        return ans;
    }
private:
    vector<int> nums_;
};

这种方法每次更新的复杂度为\(O(1)\)，每次查询的复杂度为\(O(n)\)。

1 树状数组

为了降低查询的复杂度，引入Binary Index Tree(Fenwick Tree)：

BIT其实并不是树，而是维护了一个前缀和数组prefixSums_：

假设有一个数组：



那么我们的tree：



0是dummy node，将结点的二进制表示的最后一个1翻转，就能得到其父结点。

下来填充这棵树：

\(1=0+2^0\)，存储从下标0开始的前1个数的和：3（0，0）；

\(2=0+2^1\)，存储从下标0开始的前2个数的和：5（0，1）；

\(3=2^1+2^0\)，存储从下标2开始的前1个数的和：-1（2，2）；

\(4=0+2^2\)，存储从下标0开始的前4个数的和：10（0，3）；

\(5=2^2+2^0\)，存储从下标4开始的前1个数的和：5（4，4）；

\(6=2^2+2^1\)，存储从下标4开始的前2个数的和：9（4，5）；

\(7=2^2+2^1+2^0\)，存储从下标6开始的前1个数的和：-3（6，6）；

\(8=0+2^3\)，存储从下标0开始的前8个数的和：19（0，7）；

\(9=2^3+2^0\)，存储从下标8开始的前1个数的和：7（8，8）；

\(10=2^3+2^1\)，存储从下标8开始的前2个数的和：9（8，9）；

\(11=2^3+2^1+2^0\)，存储从下标10开始的前1个数的和：3（10，10）；

填充后的tree：



接下来就可以根据这棵树来计算prefixSums_：

假如要计算\(0-5\)的和，从下标6出发，一直加到dummy node，得到prefixSums_[6]=9+10=19；

要计算\(0-9\)的和，从下标10出发，一直加到dummy node，得到prefixSums_[10]=9+19=28。

以计算\(0-9\)的和为例，结点10存储的是（8，9）的部分和，结点8存储的是（0，7）的部分和，所以加起来就是\(0-9\)的和。

2 快速实现

上面求结点的父结点、将下标拆解为二进制去填充树的方式很慢，来看一种稍快的方式。

查询时，我们需要计算从某结点到dummy node的和，这就涉及计算该结点的parent：

假如要求结点7的parent，7的二进制原码为111，-7的补码为001，将原码和补码按位与得001，用原码减去001，得110=6，即7的父结点是6。

更新时，我们需要更新所有包含该结点的部分和结点：

假如更新了结点1，1的二进制原码为001，-1的补码为111，将原码和补码按位与得001，用原码加上001，得010=2，即还要更新结点2，更新了结点2，还要更新结点4......

最后来看下非常简洁的实现：

class BIT{
private:
    vector<int> prefixSums_;
    static inline int lowbit(int x) {
        return x & (-x);
    }
public:
   BIT(int n) : prefixSums_(n + 1, 0) {}

   void update(int i, int delta) {
        while(i < prefixSums_.size()) {
            prefixSums_[i] += delta;
            i += lowbit(i);
        }
   }

   int query(int i) {
        int sum = 0;
        while(i > 0) {
            sum += prefixSums_[i];
            i -= lowbit(i);
        }
        return sum;
   }
};

BIT每次查询以及更新的复杂度都是\(O(lgn)\)，适用于动态的更新以及实时查询。

3 Reference

Fenwick Tree or Binary Indexed Tree

花花酱 Fenwick Tree / Binary Indexed Tree SP3