@hdu - 5822@ color

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@description@

给定一个每个点出度都为 1 的有向连通图以及 m 种颜色。求本质不同的染色方案数。

原题传送门。

@solution@

其实就是基环树。

考虑一棵有根树的本质不同染色方案：先递归处理出子树答案，通过树哈希把它长得一样的子树放在一起。

对于长得相同的子树，假如有 x 个，这子树的染色方案为 f[x]，则它们的贡献为 C(f[x] + x - 1, x)。一个不难理解的组合问题。

注意那个组合数直接暴力算就好了，因为 ∑x = n。

再考虑环，可以使用 burnside 引理解决，是个经典的模型。

不过注意环旋转过后对应位置的树哈希值必须相等，否则这个置换是不合法的，不能算入最后的置换群大小中。

为了保证这一点，可以先求出所有可行循环节大小。转成 border 用 kmp 求即可。

总时间复杂度 O(nlogn)。

@accepted code@

#include <map>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef unsigned long long ull;

const int MAXN = 100000;
const int MOD = int(1E9) + 7;
const int HASHMOD = 19260817;

int pow_mod(int b, int p) {
	int ret = 1;
	for(int i=p;i;i>>=1,b=1LL*b*b%MOD)
		if( i & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
	return ret;
}

struct dhash{
	ull h1; int h2; dhash() : h1(0), h2(0) {}
	dhash(ull _h1, int _h2) : h1(_h1), h2(_h2) {}
	friend dhash operator + (const dhash &a, const dhash &b) {
		return dhash(a.h1 + b.h1, (a.h2 + b.h2 >= HASHMOD ? a.h2 + b.h2 - HASHMOD : a.h2 + b.h2));
	}
	friend dhash operator - (const dhash &a, const dhash &b) {
		return dhash(a.h1 - b.h1, (a.h2 - b.h2 < 0 ? a.h2 - b.h2 + HASHMOD : a.h2 - b.h2));
	}
	friend dhash operator * (const dhash &a, const dhash &b) {
		return dhash(a.h1 * b.h1, 1LL * a.h2 * b.h2 % HASHMOD);
	}
	friend bool operator < (const dhash &a, const dhash &b) {
		return (a.h1 == b.h1 ? a.h2 < b.h2 : a.h1 < b.h1);
	}
	friend bool operator == (const dhash &a, const dhash &b) {
		return ((!(a < b)) && (!(b < a)));
	}
	friend bool operator != (const dhash &a, const dhash &b) {
		return a < b || b < a;
	}
};

int f[MAXN + 5], n, m;
bool tag[MAXN + 5], vis[MAXN + 5];
int get(int x) {
	vis[x] = true;
	if( vis[f[x]] ) {
		tag[x] = true;
		return f[x];
	}
	int ret = get(f[x]);
	if( ret != -1 )
		tag[x] = true;
	return (ret == x ? -1 : ret);
}

dhash h[MAXN + 5], sed[MAXN + 5], pw[2*MAXN + 5];
int dp[MAXN + 5], iv[MAXN + 5], siz[MAXN + 5];
vector<int>v[MAXN + 5];
int comb(int n, int m) {
	n = ((n + m) % MOD + MOD - 1) % MOD;
	int ret = 1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		ret = 1LL*ret*(n-i+1)%MOD*iv[i]%MOD;
	return ret;
}
pair<dhash, int>tmp[MAXN + 5];
void dfs(int x) {
	siz[x] = 1, h[x] = dhash(1, 1);
	for(int i=0;i<(int)v[x].size();i++) {
		int to = v[x][i];
		if( tag[to] ) continue;
		dfs(to); siz[x] += siz[to];
		h[x] = h[x] + sed[siz[to]] * h[to];
	}
	int tot = 0;
	for(int i=0;i<(int)v[x].size();i++) {
		int to = v[x][i];
		if( tag[to] ) continue;
		tmp[++tot] = make_pair(h[to], dp[to]);
	}
	sort(tmp + 1, tmp + tot + 1), dp[x] = m;
	for(int i=1;i<=tot;i++) {
		int j = i;
		while( j < tot && tmp[i].first == tmp[j + 1].first )
			j++;
		dp[x] = 1LL*dp[x]*comb(tmp[i].second, j - i + 1)%MOD;
		i = j;
	}
}
int b[MAXN + 5], c[MAXN + 5], cnt;
int con[MAXN + 5], tot;
int gcd(int x, int y) {
	return (y == 0 ? x : gcd(y, x % y));
}
int fail[MAXN + 5], prod[MAXN + 5];
int solve1() {
	prod[0] = c[0];
	for(int i=1;i<cnt;i++)
		prod[i] = 1LL*prod[i - 1]*c[i]%MOD;
	fail[0] = -1, fail[1] = 0;
	for(int i=2;i<=cnt;i++) {
		int j = fail[i - 1];
		while( j != -1 && b[j] != b[i-1] )
			j = fail[j];
		fail[i] = j + 1;
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++) con[i] = 0;
	for(int p=cnt;fail[p]!=-1;p=fail[p])
		con[cnt - fail[p]] = prod[cnt - fail[p] - 1];
/*
	for(int i=1;i<=cnt;i++) {
		if( cnt % i == 0 ) {
			bool flag = true;
			for(int j=i;j<cnt;j++)
				if( b[j-i] != b[j] ) {
					flag = false;
					break;
				}
			if( flag ) {
				con[i] = 1;
				for(int j=0;j<i;j++)
					con[i] = 1LL*con[i]*c[j]%MOD;
			}
			else con[i] = 0;
		}
	}
*/
	int ans = 0; tot = 0;
	for(int i=0;i<cnt;i++) {
		int x = gcd(i, cnt);
		if( con[x] ) ans = (ans + con[x]) % MOD, tot++;
	}
	return ans;
}
int solve() {
	int ret = solve1();
	return 1LL*ret*pow_mod(tot, MOD-2)%MOD;
}
int a[MAXN + 5], dcnt; dhash d[MAXN + 5];
int read() {
	int x = 0, ch = getchar();
	while( ch > '9' || ch < '0' ) ch = getchar();
	while( '0' <= ch && ch <= '9' ) x = 10*x + ch - '0', ch = getchar();
	return x;
}
void work() {
	n = read(), m = read();
	for(int i=1;i<=n;i++) v[i].clear(), tag[i] = vis[i] = false;
	for(int i=1;i<=n;i++) v[f[i] = read()].push_back(i);
	get(1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if( tag[i] ) dfs(i);
	cnt = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if( tag[i] ) {
			int p = i;
			do {
				a[cnt++] = p;
				p = f[p];
			}while( p != i );
			break;
		}
	dcnt = 0;
	for(int i=0;i<cnt;i++) d[++dcnt] = h[a[i]];
	sort(d + 1, d + dcnt + 1), dcnt = unique(d + 1, d + dcnt + 1) - d - 1;
	for(int i=0;i<cnt;i++) b[i] = lower_bound(d + 1, d + dcnt + 1, h[a[i]]) - d, c[i] = dp[a[i]];
	printf("%d\n", solve());
}
ull get_rand() {
	ull p = rand() << 16 | rand();
	ull q = rand() << 16 | rand();
	return p << 32 | q;
}
void init() {
	for(int i=0;i<=MAXN;i++) {
		ull p = get_rand();
		sed[i] = dhash(p, int(p % HASHMOD));
	}
	iv[1] = 1;
	for(int i=2;i<=MAXN;i++)
		iv[i] = MOD - 1LL*(MOD/i)*iv[MOD%i]%MOD;
	pw[0] = dhash(1, 1), pw[1] = dhash(1313131, 1313131);
	for(int i=2;i<=2*MAXN;i++)
		pw[i] = pw[i-1] * pw[1];
}
int main() {
	srand(20041112), init();
	int T; scanf("%d", &T);
	while( T-- ) work();
}

@details@

貌似有点小卡常，不知道是不是我常数太大。