P5689 [CSP-S2019 江西] 多叉堆

P5689 [CSP-S2019 江西] 多叉堆

题意

维护一组树，有如下两种操作：

• 令 \(x\) 所在子树的根的父亲为 \(y\) 所在子树的根。
• 求 \(x\) 所在子树被 \(0\) 到 \(size-1\) 填满能形成的不同多叉堆的数量（\(size\) 为 \(x\) 所在子树大小）。

题解

看到操作一，显然是并查集。

再看操作二，说明并查集要维护一个 \(size\) 和一个答案 \(f\)，并且 \(f\) 肯定只和 \(size\) 有关。

回到操作一，考虑 \(f\) 怎么合并。首先合并完的树根只能是 \(0\)，剩下的数字实际上可以随便分配给 \(x\) 和 \(y\) 所在的子树，分配完之后 \(x\) 和 \(y\) 所在子树的 \(f\) 实际上就独立了，根据乘法原理相乘即可。

形式上：

\[f_y \leftarrow f_y \times f_x \times \binom{f_x+f_y-1}{f_x}
\]

组合数预处理一下阶乘及其逆元即可，代码十分清晰。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;
const int N=3e5+5;
const int mod=1e9+7;

int n,q,ans;
int fac[N],invf[N];

int C(int x,int y){
    return fac[y]*invf[x]%mod*invf[y-x]%mod;
}

struct DSU{
    int fa[N],sz[N],f[N];
    void init(int n){for(int i=0;i<n;i++) fa[i]=i,sz[i]=f[i]=1;}
    int find(int x){
        if(x==fa[x]) return x;
        return fa[x]=find(fa[x]);
    }
    void merge(int x,int y){
        int fx=find(x),fy=find(y);
        if(fx==fy) return;
        fa[fx]=fy;
        f[fy]=f[fy]*f[fx]%mod*C(sz[fx],sz[fx]+sz[fy]-1)%mod;
        sz[fy]=(sz[fy]+sz[fx])%mod;
    }
    int ask(int x){
        return f[find(x)];
    }
}dsu;

int ksm(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void Init(){
    fac[0]=invf[0]=1;
    for(int i=1;i<=N-5;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod,invf[i]=ksm(fac[i],mod-2);
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    Init();
    cin>>n>>q;
    dsu.init(n);
    ans=0;
    while(q--){
        int op,x,y;
        cin>>op;
        if(op==1){
            cin>>x>>y;
            x=(x+ans)%n;
            y=(y+ans)%n;
            dsu.merge(x,y);
        }else{
            cin>>x;
            x=(x+ans)%n;
            ans=dsu.ask(x);
            cout<<ans<<"\n";
        }
    }
    return 0;
}