R实数系的连续性与数系的扩充历史

• 实数系的连续性:
  
  实数集合R重要的基本性质—“连续性”
  
  “确界存在定理”就是R连续性在分析角度的多种等价表述之一.

• 数系的扩充历史

  1. N自然数集合:
     
     N上“+”与“*”是封闭的，但“-”不封闭.

  2. Z整数集合: Z上“+”, “-”与“*”封闭的，但“/”不封闭.
     
     Z有“离散性”.

  3. Q有理数集合Q={x|x =p/q, q∈N+,p∈Z}:
     
     Q上“+”, “-”, “*”, “/”都封闭. 但“开方”不封闭.
     
     Q有“稠密性”.
     
     尽管Q有“稠密”性，但Q有理数集在坐标轴上有无理数点的“空隙”!
     
     边长为1的正方形对角线长不是有理数(数学史上Pythagoras学派Hippasus发现)

  4. R实数集合R={x|x是有理数或无理数}
     
     R有“连续性”:
     
     铺满整个数轴而且没有“空隙”! 又称R连续统.
     
     因此R实数系作为数学分析的主舞台。

  5. 集合论是实数理论的基石，不仅如此，集合论还是现代数学大厦的基础。

• R实数上作 -1的“开方”运算，是后续将登场的“复数集”的导引～
  
  数: N, Z, Q, R, Complex, Matrix, Vector, Tensor, …
  
  算: +, -, *, /, Sqrt/x^n, e^x/log/ln, lim/Deviate/Integral/Differentiate, Quantum, …
  
  轴: 由1D线性, 2D平面, 3D空间, 也在当今升成N-Dimensions的高维空间, 连续与概率空间;
  
  “数” 及其之上的 “运算”与“数轴”, 以及整个数学科学都是活的运动变化的。

• 数学分析的历史与发展，体现唯物主义历史观, 唯物主义辩证法, 人类社会的历史与进步.
  
  掌握好数学和客观规律。发挥主观能动性，活学活用。
  
  学好R实数集上的现代数学分析，立足现在改变未来。