【DP_背包专题】 背包九讲

这段时间看了《背包九讲》，在HUST VJUDGE上找到了一个题单，挑选了其中16道题集中做了下，选题全部是HDU上的题，大多是简单题。目前做了点小总结，大概提了下每道题的思路重点部分，希望以后回看回想时能有帮助。

题单：http://vjudge.net/contest/22694#overview

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题单列表

HDU 1059、HDU 1114、HDU 1171、HDU 1203、HDU 1712、HDU 2159、

HDU 2191、HDU 2546、HDU 2602、HDU 2639、HDU 2844、HDU 3033、

HDU 3449、HDU 3466、HDU 3535、HDU 3810

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题目分类

0-1 背包：HDU 1059、HDU 1203、HDU 2546、HDU 2602、HDU 3466

完全背包：HDU 1114

多重背包：HDU 1171、HDU 2191、HDU 2844

混合背包：HDU 3535

二维背包：HDU 2159

分组背包：HDU 1712、HDU 3033

有依赖背包：HDU 3449

背包问题变化：HDU 2639、HDU 3810

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题目分析

• HDU 1203：

0-1背包问题，直接套上两层循环即可。

注意需要将 dp[j - cost[i]] + val[i] 改为 dp[j - cost[i]] * val[i]。

• HDU 2546：

0-1背包问题。

首先用5元买最贵的东西，然后剩下的做普通0-1背包即可。

• HDU 2602：

0-1背包基础入门题。

需要注意的是，如果要求恰好装满背包则除dp[0]外所有都需要初始化为-∞，这样可以保证最终状态f[n]是恰好装满背包的状态最优解。

如果没要求背包恰好装满，只希望价格尽量大，此时应将整个dp数组初始化为0。

• HDU 3466：

0-1背包问题。

给入物品要按照价格p和价格限制q对q - p进行从小到大排序。解释如下：

对任意两个物品，A：p1, q1 B：p2, q2。先选A，则至少需要剩余p1 + q2的容量才能将两个物品买下，而先选B则至少需要p2 + q1，如果p1 + q2 > p2 + q1，那么要选两个的话的就要先选A再选B，公式可换成q1 - p1 < q2 - p2，就按这样的方法排序最后的顺序就是最优的顺序。

• HDU 1114：

完全背包入门问题。

本题求得是最小值，所以初始化时除dp[0] = 0外其余全部为+∞。

• HDU 1059：

多重背包基本问题。

需要二进制优化下，不然会超时。

• HDU 1171：

多重背包问题。

因为小的一方获得总价值最多为sum / 2，所以dp范围是0~sum/2。然后二进制优化下按照0-1背包做。

• HDU 2191：

多重背包入门问题。

直接套背包九讲。

• HDU 2844：

多重背包问题。

直接套背包九讲。注意二进制优化。

• HDU 3535：

混合背包问题。

详细题解见：http://www.cnblogs.com/coredux/archive/2012/07/26/2610868.html

• HDU 2159：

二维背包问题。

dp[i][j]表示忍耐度为i，且还可以杀j个怪时能获得的最大经验值。

• HDU 1712：

分组背包入门问题。

直接套背包九讲。

• HDU 3033：

分组背包变种问题。

普通分组背包是每组中最多取一件，这里是至少取一件。

dp[i][j]代表前i组容量为j的最大价值。由于一组里面有多个物品，所以状态转移可以是前一组少取一个，即dp[i - 1][p - cost[i][j]] + val[i][j]，也可以是当前组之前去过的少取一种，即dp[i][p - cost[i][j]] + val[i][j]。

这里需要注意下两个情况的先后顺序，需要先进行当前组的比较再与前一组进行比较（即单纯的分组背包必选情况，特别的是物品有0花费的情况，0花费要先放在当前层，再放在上一层才不会买两次，即先买0花费的）。

注意初始化时除dp[0]一行外全部为-∞，因为是恰好从上一组转移到这一组。

• HDU 3449：

依赖背包问题。

题中买相应物品必须买相应箱子，箱子即依赖。在做0-1背包时需要先将box的影响除去，即在做0-1背包前先dp2[j] = dp[j - box[i]]，更新枚举起点即可。在0-1背包做完后将dp与dp2中的最优值放入dp中即可。

• HDU 2639：

求0-1背包的第K大解。

对于一般的背包方程为f[i-1][v] = max( f[i-1][v], f[i-1][v - cost[i]] + val[i] )，因为要记录第K大解，我们必然要记录前K大的所有解。所以我们从有序队列f[i-1][v][1...K]和f[i-1][v - cost[i]][1...K] + val[i]两个序列合并且取前K大不重复值存入f[i][v][1...K]中。实现过程中可以做滚动数组优化。时间复杂度为O(VNK)。

• HDU 3810：

0-1背包变种问题。

详细题解见：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7609293

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一点总结

个人认为背包九讲中最基础最重要的两个模型是0-1背包模型和完全背包模型，把这两个模型弄懂了多抠细节，后面的模型理解起来会轻松很多。