HihoCoder 1068 RMQ-ST算法+BIT

以前都是用的BIT或者线段树（前者多一些）。

对于ST（Sparse Table），在求倍增or公共祖先（LCA）时见过，说明还有其他用处，所以还是学习一下。

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理

            F[1,1] = max(3,2) = 3,

                             F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，

                             F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（初始值）

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程

F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

实则就是倍增的思想，所以循环时，'长度'为第一循环。

void RMQ(int n) //预处理->O(nlogn)
{
    for(i=1;i<=n;i++)  a[i][0]=num[i];
    for(int j = ; j < ; ++j)
        for(int i = ; i <= n; ++i)
            if(i + ( << j) -  <= n)
            {
                a[i][j] = max(a[i][j - ], a[i + ( << (j - ))][j - ]);
                a[i][j] = min(a[i][j - ], a[i + ( << (j - ))][j - ]);
            }
}

然后是查询，一开始我以为查询会像BIT那样一点一点逼近，这样的话效率也变成了O(lon(n))。

比如

 [1,100]=[1,64]+[64,97]+[98,99]+[100,100]

其中，长度为

                             100=64+32+2+1。

但是可以同过交叉，把查询降到1

       [1,100]=[1,64]+[37,100]

处理O(nlgn),查询O(1),很okey辣。

int query(int L,int R)
{
    int k=log2(R-L+);
    return min(dp[L][k],dp[R-(<<k)+][k]);
}

ST

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=;
int a[maxn],dp[maxn][],n;
void ST()
{
    for(int j=;j<=n;j++) dp[j][]=a[j];
    for(int i=;i<;i++)
      for(int j=;j<=n;j++){
           if(j+(<<i)-<=n)
           dp[j][i]=min(dp[j][i-],dp[j+(<<(i-))][i-]);
      }
}
int query(int L,int R)
{
    int k=log2(R-L+);
    return min(dp[L][k],dp[R-(<<k)+][k]);
}
int main()
{
     int i,j,q,u,v;
     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
     ST();
     scanf("%d",&q);
     for(i=;i<=q;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            printf("%d\n",query(u,v));
     }
     return ;
}

BIT

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=;
const int maxn=;
int Min[maxn],a[maxn],n;
void add(int u,int num)
{
    while(u<=n){
        Min[u]=min(num,Min[u]);
        u=u+(-u&u);
    }
}
void query(int L,int R)
{
    int ans=inf;
    while(R>=L){
        //要用Min[R]，必须满足R包括的范围>=L
        while(R-(-R&R)>=L){//大范围比较 Min
            ans=min(ans,Min[R]);
            R=R-(-R&R);
        }
        //包括的范围超出L，则R-1.
        if(R>=L) ans=min(ans,a[R]);//单点比较 a
        R--;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int i,j,q,u,v;
    scanf("%d",&n);
    for(i=;i<=n;i++) Min[i]=inf;
    for(i=;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        add(i,a[i]);
    }
    scanf("%d",&q);
    for(i=;i<=q;i++) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        query(u,v);
    }
    return ;
}

 (这道题BIT的时间少于ST)