Manifold Learning: ISOMAP

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在常见的降维方法中，PCA和LDA是最为常用的两种降维方法。PCA是一种无监督方法，它关注的是将数据沿着方差最大化的方向映射。而LDA是一种监督方法，它寻找映射轴（类之间耦合度低，类内的聚合度高），两种方法估计的都是全局的统计信息（均值和协方差）。

manifold learning是最近比较热门的领域，它是一种非线性降维技术，主要研究的是高维数据的潜在的流行结构。首先我们来看下为什么要进行流行学习，先看经典图：

图1

数据在高维空间空间中，什么事合理的距离度量（两个点之间的距离）成了关键，如图1，如果我们用欧式距离分别来度量图中红点与蓝点和黄点的距离的话，红点与蓝点的距离应该较红点与黄点距离远。事实上是否如此的，该距离是否真实的反应了数据之间的距离关系呢？想象力丰富的同学可能可以看出来，这些数据像一条丝带，把他在一个平面内展开，再去度量红点与蓝点和黄点的距离是否更为合理些？

ISOMAP是manifold learning的最为常见的一种方法，它主要的思想是用n维的欧式空间近似于一个N维的流行(n<<N).

第一步：构建点的邻居

图2

用KNN最近邻居算法对高维数据构建一个稀疏图，如果是该点邻居，则添加一条边，两点之间的距离则为欧式距离。

第二步：根据构建的图计算点与点之间最短距离

注：我们用点与点之间最短距离近似于geodesic距离（根据weak bound和asymptotic convergence定理）

计算最短路用Dijkstra或者Floyd算法计算，得到一个距离矩阵M,（表示的是点与点之间的距离）

图3

第三步：高维数据映射到低维空间

建立一个损失函数：

，

注：DG代表原图中数据，DY代表映射后数据

为了使E尽量小，解决的方法类似于PCA，进行矩阵分解，取前P个特征根，也就是将数据映射到P维空间。

PCA分解的是协方差矩阵，而ISOMAP也要进行类似的处理。在第二步中我们计算出距离矩阵M,对M进行算子操作，

= （1）

（2）

注：N为样本数据点个数，为克罗内克函数.

该步的算子操作类似于PCA中的减去均值操作，然后进行矩阵分解，取前P个特征根。

至此，ISOMAP完成了高维数据的非线性降维，降维后的数据极大的保持全局的geodesic距离信息。