[loj2462]完美的集合

当$k$个集合依次为$S_{1},S_{2},...,S_{k}$时，称$x$合法当且仅当：

1.$\forall 1\le i\le k,x\in S_{i}$

2.$\forall y\in \bigcup_{i=1}^{k}S_{i}$，$dis(x,y)\times v_{y}\le Max$

注意到这些合法的$x$必然构成一个连通块，证明如下：

考虑两个合法点$x$和$y$以及$x$到$y$这条路径上一个点$z$（$z\ne x,y$），由于$S_{i}$要求连通，因此$z\in S_{i}$，同时对于任意点$t$，$dis(z,t)\times v_{t}<\max(dis(x,t),dis(y,t))\times v_{t}\le Max$，因此也满足第2个条件

此时，我们就可以利用点数-边数=1的性质，具体来说：

对于所有$x$，求出令$x$合法的方案数；对于所有$(x,y)$，求出令$(x,y)$合法的方案数（称一条边$(x,y)\in E$合法当且仅当$x$合法且$y$合法）

将两者相减，考虑使得合法集合非空的方案，该合法集合中每一个点都贡献了1个收益，每一条边都贡献了一个-1的收益，因此一共恰好被计算点数-边数=1次

令$x$合法的方案数，可以通过dp求，具体来说，由于强制包含$x$，以$x$为根建树后在dfs序上dp，状态中关于价值的一维强制最大，即再记录另一个dp数组表示最大价值即可

（特别的，要对无$dis(x,y)\times v_{y}$的限制再做一次，因为对于“完美的集合”没有这个限制，若这样的最大值更大则答案必然为0）

接下来，我们相当于要计算一个组合数，可以转换为阶乘的形式，即求$n!\equiv ans(mod\ 5^{23})$（题中所给的大模数即为$5^{23}$，另外注意乘法需要转换为加法，可以以500为进制）

$o(\log_{5}n)$统计出其中5的次数，用$5^{t}v$的形式来表示（其中$5\not\mid v$）答案，之后记$g_{n}=\prod_{1\le i\le n,5\not\mid i}i$，即有$v=\prod_{i\ge 0}g_{\lfloor\frac{n}{5^{i}}\rfloor}$，接下来即考虑如何求$g_{n}$（这个$n$代指$\lfloor\frac{n}{5^{i}}\rfloor$）

记$n'=\lfloor\frac{n}{5}\rfloor$，则有$g_{n}=g_{5n'}\prod_{i=5n'+1}^{n}i$，后者暴力计算即可，之后即求$g_{5n'}$

构造函数$f_{n}(x)=\prod_{1\le i\le 5n,5\not\mid i}(x+i)$（用多项式的形式存储），初始$f_{0}(x)=1$，即求$g_{5n'}=f_{n'}(x)[x^{0}]$（指常数项系数）

考虑$f_{2n}(x)=f_{n}(x)f_{n}(x+5n)$和$f_{n+1}=f_{n}(x)\prod_{i=1}^{4}(x+5n+i)$，由此即可推出$f_{n'}(x)$，但如果暴力计算，复杂度为$o(n^{2}\log_{2}n)$

事实上，对于$f_{n}(x)[x^{i}]$，我们只关心于其对$5^{23-i}$取模的结果，那么对$i\ge 23$时即对1取模，显然不需要计算，因此仅保留前23项（具体实现都对$5^{23}$取模即可），复杂度降为$o(23^{2}\log_{2}n)$

由于乘法还需要一个log，以及要计算$o(\log_{5}n)$个$g_{n}$，总复杂度为$o(n^{2}m+23^{2}n\log^{3}mod)$，可以通过

关于$f_{n}(x)[x^{i}]$对$5^{23-i}$取模的证明：

归纳这样的正确性，称$f(x)=f'(x)$当且仅当$f(x)[x^{i}]\equiv f'(x)[x^{i}](mod\ 5^{23-i})$

接下来即求证若$f_{n}(x)=f'_{n}(x)$，$f_{2n}(x)=f'_{2n}(x)$且$f_{n+1}(x)=f'_{n+1}(x)$

先考虑对于$f(x)=f'(x)$且$g(x)=g'(x)$，不难推得$f(x)g(x)=f'(x)g'(x)$，那么对于$f_{n+1}(x)=f'_{n+1}(x)$正确性显然

同时对于$f_{2n}(x)=f'_{2n}(x)$，也就是要证明$f_{n}(x+5n)=f'_{n}(x+5n)$，代入后也可以证明

根据上面的这个性质，不难得到最终$f_{n}(x)=f'_{n}(x)$，即$f'_{n'}[x^{0}]\equiv f_{n'}[x^{0}](mod\ 5^{23})$

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 105
  4 #define M 10005
  5 #define ll long long
  6 #define pll pair<ll,ll>
  7 #define fi first
  8 #define se second
  9 struct ji{
 10     int nex,to,len;
 11 }edge[N<<1];
 12 pll g[M],f[N][M];
 13 int E,n,m,k,x,y,z,head[N],w[N],v[N],dfn[N],sz[N],dep[N];
 14 ll lim,mod,mx,ans;
 15 void add(int x,int y,int z){
 16     edge[E].nex=head[x];
 17     edge[E].to=y;
 18     edge[E].len=z;
 19     head[x]=E++;
 20 }
 21 void dfs(int k,int fa,int s){
 22     dfn[++dfn[0]]=k;
 23     sz[k]=1;
 24     dep[k]=s;
 25     for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
 26         if (edge[i].to!=fa){
 27             dfs(edge[i].to,k,s+edge[i].len);
 28             sz[k]+=sz[edge[i].to];
 29         }
 30 }
 31 ll mul(ll x,ll y){
 32     ll s=x,ans=0;
 33     while (y){
 34         ans=(ans+y%500*s)%mod;
 35         s=500*s%mod;
 36         y/=500;
 37     }
 38     return ans;
 39 }
 40 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
 41     if (!b){
 42         x=1,y=0;
 43         return;
 44     }
 45     exgcd(b,a%b,y,x);
 46     y-=(a/b)*x;
 47 }
 48 struct num{
 49     ll t,v;
 50     num operator * (const num &k)const{
 51         return num{t+k.t,mul(v,k.v)};
 52     }
 53     num inv(){
 54         ll x,y;
 55         exgcd(v,mod,x,y);
 56         if (x>=0)x%=mod;
 57         else x+=(-x+mod-1)/mod*mod;
 58         return num{-t,x};
 59     }
 60 }o;
 61 struct poly{
 62     ll a[23];
 63     poly(int k){
 64         memset(a,0,sizeof(a));
 65         a[0]=k;
 66     }
 67     poly operator + (const poly &k)const{
 68         poly ans=poly(0);
 69         for(int i=0;i<23;i++)ans.a[i]=(a[i]+k.a[i])%mod;
 70         return ans;
 71     }
 72     poly operator * (const poly &k)const{
 73         poly ans=poly(0);
 74         for(int i=0;i<23;i++)
 75             for(int j=0;j<23;j++)
 76                 if (i+j<23)ans.a[i+j]=(ans.a[i+j]+mul(a[i],k.a[j]))%mod;
 77         return ans;
 78     }
 79 };
 80 poly dfs(ll n){
 81     poly ans=poly(1);
 82     if (!n)return ans;
 83     ans=dfs(n>>1);
 84     poly s=poly(1),ss=poly(0);
 85     for(int i=0;i<23;i++){
 86         for(int j=0;j<=i;j++)ss.a[j]=(ss.a[j]+mul(s.a[j],ans.a[i]))%mod;
 87         for(int j=min(i+1,22);j;j--)s.a[j]=(mul(s.a[j],5*(n/2))+s.a[j-1])%mod;
 88         s.a[0]=mul(s.a[0],5*(n/2));
 89     }
 90     ans=ans*ss;
 91     if (n&1)
 92         for(int i=1;i<5;i++){
 93             for(int j=22;j;j--)ans.a[j]=(mul(ans.a[j],5*(n-1)+i)+ans.a[j-1])%mod;
 94             ans.a[0]=mul(ans.a[0],5*(n-1)+i);
 95         }
 96     return ans;
 97 }
 98 ll fac_5(ll n){
 99     ll nn=n/5,ans=1;
100     for(ll i=nn*5+1;i<=n;i++)ans=mul(ans,i);
101     return mul(ans,dfs(nn).a[0]);
102 }
103 num fac(ll n){
104     num ans=num{0,fac_5(n)};
105     for(ll i=5;i<=n;i*=5){
106         ans.t+=n/i;
107         ans.v=mul(ans.v,fac_5(n/i));
108     }
109     return ans;
110 }
111 ll c(ll n,ll m){
112     if (n<m)return 0;
113     num ans=fac(n)*o*fac(n-m).inv();
114     if (ans.t>=23)return 0;
115     for(int i=0;i<ans.t;i++)ans.v=ans.v*5%mod;
116     return ans.v;
117 }
118 pll merge(pll x,pll y){
119     if (x.fi<y.fi){
120         x.fi=y.fi;
121         x.se=0;
122     }
123     if (x.fi==y.fi)x.se=(x.se+y.se)%mod;
124     return x;
125 }
126 void calc(int p){
127     f[dfn[0]+1][0]=make_pair(0,1);
128     for(int i=1;i<=m;i++)f[dfn[0]+1][i]=make_pair(-1,0);
129     for(int i=dfn[0];i;i--){
130         int x=dfn[i];
131         for(int j=0;j<=m;j++)f[i][j]=f[i+sz[x]][j];
132         if ((p)&&(1LL*dep[x]*v[x]>lim))continue;
133         for(int j=m;j>=w[x];j--){
134             pll o=f[i+1][j-w[x]];
135             o.fi+=v[x];
136             f[i][j]=merge(f[i][j],o);
137         }
138     }
139 }
140 int main(){
141     mod=1;
142     for(int i=0;i<23;i++)mod*=5;
143     scanf("%d%d%d%lld",&n,&m,&k,&lim);
144     o=fac(k).inv();
145     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
146     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);
147     memset(head,-1,sizeof(head));
148     for(int i=1;i<n;i++){
149         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
150         add(x,y,z);
151         add(y,x,z);
152     }
153     for(int i=1;i<=n;i++){
154         dfn[0]=0;
155         dfs(i,0,0);
156         calc(0);
157         for(int j=0;j<=m;j++)mx=max(mx,f[1][j].fi);
158     }
159     for(int i=1;i<=n;i++){
160         dfn[0]=0;
161         dfs(i,0,0);
162         calc(1);
163         ll sum=0;
164         for(int j=0;j<=m;j++)
165             if (f[1][j].fi==mx)sum=(sum+f[1][j].se)%mod;
166         ans=(ans+c(sum,k))%mod;
167     }
168     for(int i=0;i<E;i+=2){
169         int x=edge[i].to,y=edge[i^1].to;
170         dfn[0]=0;
171         dfs(x,y,edge[i].len);
172         calc(1);
173         g[0]=make_pair(-1,0);
174         for(int j=1;j<=m;j++)g[j]=merge(g[j-1],f[1][j]);
175         dfn[0]=0;
176         dfs(y,x,edge[i].len);
177         calc(1);
178         ll sum=0;
179         for(int j=w[x];j<=m-w[y];j++)
180             if (g[j].fi+f[1][m-j].fi==mx)sum=(sum+mul(g[j].se,f[1][m-j].se))%mod;
181         ans=(ans+mod-c(sum,k))%mod;
182     }
183     printf("%lld",ans);
184 }