CF235D-Graph Game【LCA,数学期望】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF235D

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题目大意

给出一棵基环树，每次随机选择一个点让权值加上这个点的连通块大小然后删掉这个点。

求删光所有点时期望权值。

\(1\leq n\leq 3000\)

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解题思路

先找到环，然后考虑暴力枚举点对\((x,y)\)计算贡献，即统计在\(x\)删除时与\(y\)连通的概率。

如果他们之间的路径没有经过环，那么显然这个概率是\(\frac{1}{|p|}\)即\(x\)必须是第一个删除的。

如果他们之间的路径有环，那么这样就会产生两条路径，概率计算后要容斥减去即产生贡献

\[\frac{1}{|p_1|}+\frac{1}{|p_2|}-\frac{1}{|p_1\cup p_2|}
\]

写个\(LCA\)就好了，时间复杂度\(O(n^2\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3100,T=12;
struct node{
	int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,cnt,ls[N],cir[N],root[N],dep[N],f[N][T+1];
bool v[N];double ans;
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
int dfs(int x,int fa){
	v[x]=1;
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;
		if(v[y]){
			root[++cnt]=x;cir[x]=cnt;
			return y;
		}
		int z=dfs(y,x);
		if(z==-1)return -1;
		if(z){
			root[++cnt]=x;cir[x]=cnt;
			if(z==x)return -1;
			return z;
		}
	}
	return 0;
}
void Dfs(int x){
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(cir[y])continue;
		cir[y]=cir[x];
		dep[y]=dep[x]+1;
		f[y][0]=x;Dfs(y);
	}
	return;
}
int LCA(int x,int y){
	if(dep[y]>dep[x])swap(x,y);
	for(int i=T;i>=0;i--)
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=T;i>=0;i--)
		if(f[x][i]!=f[y][i])
			x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);x++;y++;
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		dep[root[i]]=1,Dfs(root[i]);
	for(int j=1;j<=T;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
	for(int x=1;x<=n;x++)
		for(int y=1;y<=n;y++){
			if(cir[x]==cir[y]){
				int lca=LCA(x,y);
				ans+=1/(1.0*(dep[x]+dep[y]-dep[lca]*2+1));
			}
			else{
				int len3=dep[x]+dep[y];
				int len1=abs(cir[x]-cir[y]);
				int len2=cnt-len1;
				len1+=len3-1;len2+=len3-1;len3+=cnt-2;
				ans+=1.0/(double)len1+1.0/(double)len2-1.0/(double)len3;
			}
		}
	printf("%.12lf\n",ans);
	return 0;
}